必修五不等式知识点&典型例题


高中数学必修 5
一、不等式的主要性质:
(1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

第三章

不等式复习

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

1 1 ? a b

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) (7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1)

二、一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 和 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 及其解法
??0
y ? ax 2 ? bx ? c
二次函数

??0
y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ? x 1 )( x ? x 2 )

??0
y ? ax 2 ? bx ? c

? a( x ? x1 )( x ? x 2 )

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0 ? 的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
1.一元二次不等式先化标准形式( a 化正)2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下: “大鱼”吃两边, “小鱼”吃中间

三、均值不等式
1.均值不等式:如果 a,b 是正数,那么

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
-1-

2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等

3、平均不等式: (a、b 为正数) ,即

a 2 ? b2 a ? b 2 (当 a = b 时取等) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义: | x | 是指数轴上点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x2 两点间的距离

?a ? 代数意义: | a |? ?0 ?? a ?
2、 如果a ? 0, 则不等式:

a?0 a?0 a?0

| x |? a | x |? a

??? x ? a或x ? ? a ??? ? a ? x ? a

| x |? a | x |? a

??? x ? a或x ? ? a ??? ? a ? x ? a

4、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号

五、其他常见不等式形式总结:
①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

? f ( x ) g( x ) ? 0 f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x ) g( x ) ? 0 ; ?0?? g( x ) g( x ) ? g( x ) ? 0
②指数不等式:转化为代数不等式

a f ( x ) ? a g( x ) (a ? 1) ? f ( x) ? g( x ) ; a f ( x ) ? a g( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g( x )
③对数不等式:转化为代数不等式

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g( x )( a ? 1) ? ? g( x ) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ?
④高次不等式:数轴穿根法: 奇穿,偶不穿 例题:不等式

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g( x )( 0 ? a ? 1) ? ? g( x ) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ?

( x 2 ? 3x ? 2)(x ? 4) 2 ) ? 0 的解为( x?3 A.-1<x≤1 或 x≥2 B.x<-3 或 1≤x≤2 C.x=4 或-3<x≤1 或 x≥2 D.x=4 或 x<-3 或 1≤x≤2

六、不等式证明的常用方法
做差法、做商法

七、线性规划
1、二元一次不等式(组)表示的平面区域 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 (或 ? 0 ) :直线定界,特殊点定域。 注意: Ax ? By ? C ? 0(或 ? 0) 不包括边界

Ax ? By ? C ? 0(? 0) 包括边界

2. 线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤 是: 注意:1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得;
-2-

2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数个。

八、基本不等式练习
1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A. )

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?
y

D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B

x? y x y , B? ,则 A, B 的大小关系是( ? 1? x ? y 1? x 1? y
C. A ? B ) D. A ? B

B. A ? B

4.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1)

[4,7)

B. (?2,1]

(4,7]

C. (?2, ?1] [4,7)

D. (?2,1] [4,7)

5.已知 x, y ? 0 ,且 x 2 ? y 2 ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2 7.已知不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 (1,2) ,试求关于 x 的不等式 bx 2 ? ax ? 1 ? 0 的解集。
6.函数 f ( x) ? 3 x ?

8.已知集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 18 ? 0 , B ? ?x | ( x ? k )( x ? k ? 1) ? 0?,若 A ? B ? ? ,求实数 k 的取值 范围

?

?

9.已知函数 y ? (m 2 ? 4m ? 5) x 2 ? 4(1 ? m) x ? 3 对任意实数 x ,函数值恒大于0,求实数 m 的取值范 围。

九、线性规划练习题
-3-

?y ? x ? 2 ? 0 ? 1. 不等式组 ? 1 表示的平面区域是 x ? y ? 2 ? 0 ? ?2





A

B

C

D

?x ? 0 ? 2. 已知点 P (x, y) 满足条件: 是常数) 若 z ? x ? 3 y 取得最大值是 8, 则 k=__________ ?y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ? ?( x ? y ? 5)( x ? y ) ? 0 3.求不等式 ? 所表示的平面区域的面积。 ?0 ? x ? 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 4.已知不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求下列目标函数的最值或取值范围。 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
(1)求 z ? x ? 2 y ? 4 的最大值。 (3)求 z ? (2)求 z ? x 2 ? y 2 ? 10 y ? 25 的最小值。

2y ? 1 的取值范围。 x ?1

-4-

高中数学必修 5 第三章不等式典型题 [基础训练 A 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分)
2 1.若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



A. 4 x ? 5
2

B. ? 3

C.3

D. 5 ? 4 x )

2.函数 y=log 1 (x+ x1 +1) (x > 1)的最大值是 ( ?1 A.-2 3.不等式 B.2 C.-3 D.3 )

3x ? 1 ≥1 的解集是 ( 2? x

A.{x|

3 ≤x≤2} 4 3 } 4
B.

B.{x|

3 ≤x <2} 4

C.{x|x>2 或 x≤

D.{x|x<2} ( ) D.a2>2b )

4.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 A.

1 1 ? a b

1 1 ? a b

C.a>b2

5.如果实数 x,y 满足 x2+y2=1,则(1-xy) (1+xy)有 (

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比 1 大,另一个根比-1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A.-3<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.0<a<2 二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.不等式组 ?

? x ? ?2 的负整数解是____________________。 ? x ? ?3

2.一个两位数的个位数字比十位数字大 2,若这个两位数小于 30, 则这个两位数为____________________。

x2 ?1 ? 0 的解集是__________________。 3.不等式 2? x
4.当 x ? ___________时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,其值是_________。
2 2

5.若 f(n)= n ? 1 ? n, g (n) ? n ? n ? 1, ? (n) ?
2 2

1 (n ? N ) ,用不等号 2n

连结起来为____________.

三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分)
-5-

1.解 log(2x – 3)(x2-3)>0

2.不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围。 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 3.求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

4.求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

[综合训练 B 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分) 1.一元二次不等式 ax +bx+2 ? 0 的解集是(-
2

1 1 , ),则 a+b 的值是_____。 2 3

A. 10

B. -10

C. 14

D. -14

2.下列不等式中: ① x ? 3x ? 2 ? 0 和 x ? 3x ? 4 ? 0
2 2

② 4x ?

5 5 和 4x ? 8 ?8? x?3 x?3

③ 4x ?

5 5 和 4x ? 8 ?8? x?3 x?3



x?3 ? 0 和 ( x ? 3)(2 ? x) ? 0 2? x
D.②、③和④ )

不等价的是( )A.① 和② 3.关于 x 的不等式(k2-2k+

B.① 和③ C.②和③

5 5 x ) <(k2-2k+ )1–x 的解集是 ( 2 2
-6-

A.x>

1 2

B.x<

1 2

C.x>2 ) B.y= sinx+

D.x<2

4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A.y=x+

1 x

1 ? ,x ? (0, ) sin x 2

C.y=

x2 ? 3 x2 ? 2
1 5

D.y=x+ ) D.5

2 x

?1

5.如果 x2+y2=1,则 3x-4y 的最大值是 ( A.3 B. C.4

6.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若 0<c<1, 则 a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B. (1,2) C.[2,3) D.[1,3] 二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.设实数 x、y 满足 x +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________。 2.函数 y=2 x + x ? 1 的值域是________________。
2

3.不等式

( x ? 3)(10 ? x) ? 0 的解集是___________. x 2 ( x ? 1)

4.已知 f(x)=ux+v,x∈[-1,1],且 2u2+6v2=3,那么 f(x)的最大值是________. 5.设 x、y∈R+ 且

1 9 ? =1,则 x+y 的最小值为________. x y

三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分) 1. 在函数 y ?

1 1 1 的图象上,求使 ? 取最小值的点的坐标。 x x y

2. 函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为多少?

3.若 a-1≤ log 1 x ≤a 的解集是[
2

1 1 , ],则求 a 的值为多少? 4 2
-7-

4.设 0 ? a ? 1, 解不等式: loga a 2 x ? a x ? 2 ? 0

?

?

[提高训练 C 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分) 1.若方程 x ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是(
2

).

A. m ? ?4 或 m ? 4 C. ? 5 ? m ? ?4 2.若 a ? c 且 b ? c ? 0 ,则不等式 A. ?x | ?a ? x ? b, 或x ? c? C. ?x | ?b ? x ? a, 或x ? c? 3.不等式 lgx2<lg2x 的解集是 (

B. ? 5 ? m ? ?4 D. ? 5 ? m ? ?2

( x ? c)( x ? b) ? 0 的解集为( x?a
B. ?x | ?a ? x ? c, 或x ? b? D. ?x | ?b ? x ? c, 或x ? a? ) B.(100,+∞) D.(0,1)∪(100,+∞)



1 ,1) 100 1 C. ( ,1)∪(100,+∞) 100
A.( 4.若不等式 x2-logax<0 在(0, A.

1 ≤x<1 16

1 )内恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) 2 1 1 1 B. <a<1 C.0<a≤ D.0<a< 16 16 16
( )

5.若不等式 0≤x2-ax+a≤1 有唯一解,则 a 的取值为 A.0 B.2 C.4 D.6 6.a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( ) A.a+

1 1 ?b? a b

B.

c c ? a b

C.

2a ? b a ? a ? 2b b

D.

a?b 2ab ? ab ? 2 a?b

二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.不等式 log 2 (2 -1) ·log 2 (2
x x ?1

-2)<2 的解集是_______________。
-8-

2.已知 a ≥0,b≥0, a +b=1,则 a ? 3.函数 f(x)=

1 1 + b ? 的范围是____________。 2 2

1 1 -x(0<x≤ )的最小值为________. x 4 1 2 4.设 x ? 0 ,则函数 y ? ( x ? ) ? 1 在 x =________时,有最小值__________。 x
5.不等式 4 ? x 2 +

x x

≥0 的解集是________________。

三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分) 1.已知函数 y=

m x2 ? 4 3x ? n 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。 x2 ?1

2.已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1?

3( x ?1) ? ? ? ? ? ? ?1? x 2 ? 2 x ?3 2 ?? ? 3.已知集合 A= ? x | 2 ?, B ? ? x | log1 (9 ? x ) ? log1 (6 ? 2 x)? , ? ? ?2? 3 3 ? ? ? ?

又 A∩B={x|x2+ax+b<0},求 a+b 等于多少?

3. 画出下列不等式组表示的平面区域,

? x ? 2 y ? 24, ?3x ? 2 y ? 36, ? ? ?0 ? x ? 10, ? ?0 ? y ? 11.

高中数学必修 5 第三章不等式典型题 参考答案
-9-

[基础训练 A 组]
一、选择题 二、填空题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 1. ? 2,?1 2. 13 或 24 3. (2,??) 4. ? 1, 大,1 5. f (n) ? ? (n) ? g (n) 2. m ? ?

三、解答题 1. x ? ( 3,2) ? (2,??)
2 2

1 3. Z max ? 3 2

4.提示:由 a ? b ? 2ab 或作差

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.D 2.B 3.B 4. 5.D 6.B 2. ?? 2,??? 3. 4. a ? 2 二、填空题 1. ?? ?,?1? ? ? 1,??? 三、解答题 1. 略 2. ?1 , 1? 3.

?? ?,0? ? ?0,1? ? ?3,10?

4.

2 5. 16

5 2

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 二、填空题 1. ? log2 4 , log2 ?

? ?

5

3

? 2 2 ? 6 ? 15 ? ,2? 3. 2. ? 4 2 ? ? ?
2. 略 3. ? 1 4. 略

4. ? 1,3 5. ? 3,0 ? ?0,2?

?

?

三、解答题 1. y ?

3x 2 ? 4 3 x ? 3 x2 ?1

- 10 -


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必修5 第三章 不等式典型例题
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