《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)


选修 4-5

不等式选讲

最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件: (1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R).(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a, b∈R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x- c|+|x-b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证 明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、 反证法、放缩法、数学归纳法.

1.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式,可利用绝对值不等 式的几何意义求解. 2.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 问题探究: 不等式|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|中, “=”成立的条件分别是什么? 提示:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左 侧“=”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|; 不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|, 右侧“=” 成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|. 3.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 等号成立. a+b+c 3 3 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,

定理 4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果 a1、a2、?、an 为 n 个 正数,则 a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an,当且仅当 a1=a2=?=an 时,等号成立. n

4.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式:设 a,b,c,d 为实数,则(a2+b2)· (c2+d2)≥(ac +bd)2,当且仅当 ad=bc 时等号成立.
2 (2)若 ai, bi(i∈N*)为实数, 则( ?ai2)( ?b2 当且仅当 bi=0(i=1,2, ?, i )≥( ?aibi) , i=1 i=1 i=1 n n n

n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?,n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则|α|· |β|≥|α· β|, 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当 a>b>0 时等号成立.( (2)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当 ab≤0 时等号成立.( (3)|ax+b|≤c(c>0)的解等价于-c≤ax+b≤c.( (4)不等式|x-1|+|x+2|<2 的解集为 ?.( ) ) ) ) )

(5)若实数 x、y 适合不等式 xy>1,x+y>-2,则 x>0,y>0.( [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ )

2.不等式|2x-1|-x<1 的解集是( A.{x|0<x<2} C.{x|0<x<1} [解析]

B.{x|1<x<2} D.{x|1<x<3}

解法一:x=1 时,满足不等关系,排除 C、D、B,故选 A.

1 x - 1 , x ≥ ? ? 2, 解法二:令 f(x)=? 1 1 - 3 x , x < ? ? 2, [答案] A

则 f(x)<1 的解集为{x|0<x<2}.

3.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是 ( )

A.|a+b|+|a-b|>2 C.|a+b|+|a-b|=2 [解析] [答案] |a+b|+|a-b|≤|2a|<2. B

B.|a+b|+|a-b|<2 D.不能比较大小

4.若 a, b,c∈(0, +∞), 且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的最大值为( A.1 C. 3 [解析] =3. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3. 故 a+ b+ c的最大值为 3.故应选 C. [答案] C B. 2 D.2

)

( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+12+12)(a+b+c)

5. 若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立, 则实数 a 的取值范围是________. [解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得 x 到 a 与到 1 的距离和小于 3,

所以 a 的取值范围为-2≤a≤4. [答案] -2≤a≤4

考点一

含绝对值的不等式的解法

解|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型不等式,其一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根. (2)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间. (3)在所分区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求 出它们的解集. (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.

解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.

(1)(2015· 山东卷)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( A.(-∞,4) C.(1,4) B.(-∞,1) D.(1,5)

)

? ? 5 ? ? 1 ? (2)(2014· 湖南卷)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x?-3<x<3 ?,则 a ? ? ? ? ?

=________. [解题指导] 行分类讨论. [解析] (1)当 x<1 时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成 切入点:“脱掉”绝对值符号;关键点:利用绝对值的性质进

立,所以此时不等式的解集为(-∞,1); 当 1≤x≤5 时,不等式可化为 x-1+(x-5)<2,即 2x-6<2,解得 x<4,又 1≤x≤5,所以此时不等式的解集为[1,4); 当 x>5 时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即 4<2,显然不成立,所以此时 不等式无解. 综上,不等式的解集为(-∞,4).故选 A. (2)∵|ax-2|<3,∴-1<ax<5. 1 5 当 a>0 时,-a<x<a,与已知条件不符; 当 a=0 时,x∈R,与已知条件不符;
? ? 5 ? ? 1 ? 5 1 当 a<0 时,a<x<-a,又不等式的解集为?x?-3<x<3 ?,故 a=-3. ? ? ? ? ?

[答案]

(1)A

(2)-3

用零点分段法解绝对值不等式的步骤: (1)求零点; (2)划区间、 去绝对值号; (3)分别解去掉绝对值的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏 区间的端点值. 对点训练

已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

[解]

?-2x+5,x≤2, (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3.

当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式

对于形如|x-a|+|x-b|>c 或|x-a|+|x-b|<c 的不等式, 利用绝对值的几何意 义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式,更为直观、简捷,它体现了数形 结合思想方法的优越性.

|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上表示 x 的点与点 a 和点 b 的距离之和,应 注意 x 的系数为 1. 1 (1)(2014· 重庆卷)若不等式|x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. (2)不等式|x+1|-|x-2|>k 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是__________. [解题指导] 值问题. 切入点:绝对值的几何意义;关键点:把恒成立问题转化为最

[解析]

(1)∵|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x-2)|=3,

-1- 17 -1+ 17 1 ∴a2+2a+2≤3,解得 ≤a≤ . 4 4 ?-1- 17 -1+ 17? ?. 即实数 a 的取值范围是? , 4 4 ? ? (2)解法一:根据绝对值的几何意义,设数 x,-1,2 在数轴上对应的点分别 为 P,A,B,则原不等式等价于 PA-PB>k 恒成立.∵AB=3,即|x+1|-|x-2|≥ -3.故当 k<-3 时,原不等式恒成立. 解法二:令 y=|x+1|-|x-2|,

?-3,x≤-1, 则 y=?2x-1,-1<x<2, ?3,x≥2,
要使|x+1|-|x-2|>k 恒成立,从图象中可以看出,只要 k<-3 即可.故 k< -3 满足题意.

[答案]

?-1- 17 -1+ 17? ? (2)(-∞,-3) (1)? , 4 4 ? ?

解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的 x 即可;不等式的 恒成立问题,可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立?a>f(x)max,f(x)>a 恒成立? a<f(x)min. 对点训练 (2015· 唐山一模)已知函数 f(x)=|2x-a|+a,a∈R,g(x)=|2x-1|. (1)若当 g(x)≤5 时,恒有 f(x)≤6,求 a 的最大值; (2)若当 x∈R 时,恒有 f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围. [ 解] (1)g(x)≤5?|2x-1|≤5?-5≤2x-1≤5?-2≤x≤3;f(x)≤6? |2x-

a|≤6-a?a-6≤2x-a≤6-a?a-3≤x≤3. 依题意有,a-3≤-2,a≤1.

故 a 的最大值为 1. (2)f(x)+g(x)=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a=|a-1|+a, 当且仅当(2x-a)(2x-1)≤0 时等号成立. 解不等式|a-1|+a≥3,得 a 的取值范围是[2,+∞). 考点三 不等式的证明与应用

不等式的证明方法很多, 解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题 目标,既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到 正确的解题途径.

应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.

(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. [解题指导] [证明] 切入点:不等式的性质;关键点:不等式的恒等变形.

(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab,( c+ d)2=c+d+2 cd,

由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d. (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d,则( a+ b)2>( c+ d)2,即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c -d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

分析法是证明不等式的重要方法, 当所证不等式不能使用比较法且与重要不 等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析 法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 对点训练 (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1)ab+bc+ac≤3; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1. [证明] bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1. ———————方法规律总结———————— [方法技巧] 1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号. 2.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用,同时还 要注意等号成立的条件. 3.在证明不等式时,应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在 使用柯西不等式时,要注意右边为常数. [易错点睛] 1.对含有参数的不等式求解时,分类要完整. 2.应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件. (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2+c2≥ab+

课时跟踪训练(七十) 一、填空题 1.不等式|2x-1|<3 的解集为__________. [解析] [答案] |2x-1|<3?-3<2x-1<3?-1<x<2. (-1,2)

2.若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=__________. [解析] ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. [答案] 2

3.不等式|2x+1|+|x-1|<2 的解集为________. [解析] 1 当 x≤-2时,原不等式等价为-(2x+1)-(x-1)<2,即-3x<2,x>

2 2 1 1 -3, 此时-3<x≤-2.当-2<x<1 时, 原不等式等价为(2x+1)-(x-1)<2, 即 x<0, 1 2 此时-2<x<0.当 x≥1 时,原不等式等价为(2x+1)+(x-1)<2,即 3x<2,x<3,此 2 ? 2 ? 时不等式无解,综上,原不等式的解为-3<x<0,即原不等式的解集为?-3,0?. ? ? ? 2 ? [答案] ?-3,0? ? ? 4 .已知关于 x 的不等式 |x - 1| + |x|≤k 无解,则实数 k 的取值范围是 __________. [解析] 故 k<1. [答案] (-∞,1) ∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1, ∴当 k<1 时, 不等式|x-1|+|x|≤k 无解,

5.(2015· 西安统考)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 故 a≤8. [答案] (-∞,8] |x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8,

6.(2015· 重庆卷 ) 若函数 f(x)= |x + 1|+ 2|x - a|的最小值为 5 ,则实数 a= __________. [解析] 当 a=-1 时,f(x)=3|x+1|≥0,不满足题意;当 a<-1 时,f(x)=

?-3x-1+2a,x≤a, ?x-1-2a,a<x≤-1, ?3x+1-2a,x>-1,

f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得 a=-6;当 a>

?-3x-1+2a,x≤-1, -1 时, f(x)=?-x+1+2a,-1<x≤a, ?3x+1-2a,x>a,
=4. [答案] -6 或 4

f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5, 解得 a

7. 若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解, 则实数 a 的取值范围是 __________. [解析] ∵f(x)=|x+1|+|x-2|=

?-2x+1?x≤-1?, ?3 ?-1<x<2?, ?2x-1 ?x≥2?,
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解, ∴|a|≥3,即 a≤-3 或 a≥3. [答案] (-∞,-3]∪[3,+∞)

8. 已知关于 x 的不等式|x-a|+1-x>0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 __________. [解析] 若 x-1<0,则 a∈R;若 x-1≥0,则(x-a)2>(x-1)2 对任意的 x∈

[1,+∞)恒成立,即(a-1)[(a+1)-2x]>0 对任意的 x∈[1,+∞)恒成立,所以 ?a-1>0, ?a-1<0, ? (舍去)或? 对任意的 x∈[1, +∞]恒成立, 解得 a<1.综上, ?a+1>2x, ?a+1<2x, a<1. [答案] (-∞,1)

2 2 2 9. 设 a, b, c 是正实数, 且 a+b+c=9, 则a+b+ c的最小值为__________.

[解析]

?2 2 2? ∵(a+b+c)?a+b+c? ? ? 2?2 ? ? +? a? ? 2?2 ? ? +? b? ? 2?2? ?? c? ?

?? =[( a)2+( b)2+( c)2]?? ??

2 2 2? ? ≥? a· + b· + c· ?2=18, a b c? ? 2 2 2 2 2 2 ∴a+b+ c≥2,∴a+b+c的最小值为 2. [答案] 2

10.(2014· 陕西卷)设 a, b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2 的最小值为________. [解析] 由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,

即 5(m2+n2)≥25, ∴m2+n2≥5,当且仅当 an=bm 时,等号成立.∴ m2+n2的最小值为 5. [答案] 5

11.对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为__________. [解析] ∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|

=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|) ≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3, 当且仅当(1-x)· x≥0,(1-y)· (1+y)≥0,即 0≤x≤1,-1≤y≤1 时等号成 立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3. [答案] 3

4 12.若不等式|x+1|-|x-4|≥a+a,对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取 值范围是________. [解析] 4 只要函数 f(x)=|x+1|-|x-4|的最小值不小于 a+a即可.由于||x+1|

4 -|x-4||≤|(x+1)-(x-4)|=5,所以-5≤|x+1|-|x-4|≤5,故只要-5≥a+a即 4 可.当 a>0 时,将不等式-5≥a+a整理,得 a2+5a+4≤0,无解;当 a<0 时,

4 将不等式-5≥a+a整理, 得 a2+5a+4≥0, 则有 a≤-4 或-1≤a<0.综上可知, 实数 a 的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,0). [答案] (-∞,-4]∪[-1,0)

二、解答题 13.已知不等式 2|x-3|+|x-4|<2a. (1)若 a=1,求不等式的解集; (2)若已知不等式的解集不是空集,求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=1 时,不等式即为 2|x-3|+|x-4|<2,

若 x≥4,则 3x-10<2,x<4,∴舍去; 若 3<x<4,则 x-2<2,∴3<x<4; 8 若 x≤3,则 10-3x<2,∴3<x≤3.
? ?8 ? ? ? 综上,不等式的解集为?x?3<x<4 ?. ? ? ? ? ?

(2)设 f(x)=2|x-3|+|x-4|,则

?3x-10,x≥4, f(x)=?x-2,3<x<4, ?10-3x,x≤3.
作出函数 f(x)的图象,如图所示. 由图象可知,f(x)≥1, 1 ?1 ? ∴2a>1,a>2,即 a 的取值范围为?2,+∞?. ? ? 14.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;

2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得3<x<1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? ?2 ? ? ? 所以 f(x)>1 的解集为?x?3<x<2 ?. ? ? ? ? ?

?x-1-2a,x<-1, (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ?-x+1+2a,x>a.

所以函数 f(x)的图象与 x

?2a-1 ? 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? B(2a+1,0), C(a, a+1), △ABC ,0?, ? 3 ? 2 的面积为3(a+1)2. 2 由题设得3(a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 15.设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=-1 时,f(x)=|x-1|+|x+1|,

?-2x,x<-1, f(x)=?2,-1≤x≤1, ?2x,x>1.
作出函数 f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.

由图象可知,不等式 f(x)≥3 的解集为
? ? ? 3 3 ?x?x≤- 或x≥ 2 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)若 a=1,f(x)=2|x-1|,

不满足题设条件;

?-2x+a+1,x≤a, 若 a<1,f(x)=?1-a,a<x<1, ?2x-?a+1?,x≥1,
f(x)的最小值为 1-a;

?-2x+a+1,x≤1, 若 a>1,f(x)=?a-1,1<x<a, ?2x-?a+1?,x≥a,
f(x)的最小值为 a-1. ∴对于?x∈R,f(x)≥2 的充要条件是|a-1|≥2, ∴a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞). 16.(2015· 福建卷)已知 a>0,b>0,c>0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c 的最小 值为 4. (1)求 a+b+c 的值; 1 1 (2)求4a2+9b2+c2 的最小值. [解] (1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,

当且仅当-a≤x≤b 时,等号成立. 又 a>0,b>0,所以|a+b|=a+b, 所以 f(x)的最小值为 a+b+c. 又已知 f(x)的最小值为 4, 所以 a+b+c=4. (2)由(1)知 a+b+c=4,由柯西不等式得 ?1 2 1 2 2? ?4a +9b +c ?(4+9+1)≥ ? ? b ?a ? ?2×2+3×3+c×1?2=(a+b+c)2=16, ? ? 1 1 8 即4a2+9b2+c2≥7. 1 1 a 2 3b c 当且仅当 2 = 3 =1,

8 18 2 即 a=7,b= 7 ,c=7时等号成立. 1 1 8 故4a2+9b2+c2 的最小值为7.


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