北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编10:平面向量的数量积


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 10:平面向量的数量积
一、选择题 1 . (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线,

??? ? ??? ? ???? AB ? (2, 4), AC ? (1,3), 则AD ?
A. (2, 4)
【答案】D

( C. (1,1) D. (?1, ?1)



B. (3, 7)

解:因为 AB ? (2, 4), AC ? (1,3), 所以 BC ? AC ? AB ? (?1, ?1) ,即 AD ? BC ? (?1, ?1) ,选 D.
2 . (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)设平面向量 a ? (1, 2),

??? ?

????

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

b ? (?2, y) ,若 a // b ,则 2a ? b 等
( )

于 A. 4
【答案】

B. 5 D.

C. 3 5

D. 4 5

3 (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) . 向量 a ? (3,4), b ? ( x,2) , 若 a ? b ?| a | ,则实数 x

的值为 A. ?1





1 B. 2 ?

1 C. 3 ?

D. 1

【答案】A 解:由 a ? b ?| a | 得 3 x ? 4 ? 2 ?

32 ? 42 ? 5 ,即 3x ? 8 ? 5 ,解得 x ? ?1 ,选 A.

4 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知向量 a )

? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且
( )

? ? ? a ? (2a ? b) ,则实数 k ?
A. ? 14

B. ? 6 C.6 D.14 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 【答案】答案 D 因为 a ? (2a ? b) ,所以 a ? (2a ? b) ? 0 ,即 2 a ? a ? b ? 0 ,所以 2 ? 5 ? (?4 ? k ) ? 0 , 解得 k ? 14 .选 D.
?

5 . 2013 北京昌平二模数学理科试题及答案) ( 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , E 为 CD 的

中点,则 AE ? BD 的值为

??? ??? ? ?

D

E

C

A
A.1

B
( B. 3 C. 5
第 1 页,共 6 页



D. 7

【答案】A. 6 . (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且

(a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角为
A.

( C.



5? 6

B.

2? 3

? 3

D.

? 6

【答案】B 7 . 北 京 市 海 淀 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 练 习 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 平 面直 角 坐 标系 (

xoy 中 , 已 知
( )

uur uur u O(0, 0), A(0,1) ,B(1, 3) ,则 OA ? AB 的值为
A. 1
【答案】B 8 . (2013 届北京海滨一模理科)若向量 a, b 满足

B. 3 ? 1

C. 3

D. 3 ? 1

| a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为





1 A. 2 ?
【答案】A

1 B. 2

C. ?1

D. 1

9 . (2013 北京朝阳二模数学理科试题)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 A1 B1C1 D1 上一

点,则 PA?PC1 的取值范围是 A. [?1, ? ]
【答案】

??? ???? ? ?





1 4

B. [? , ? ] D.

1 2

1 4

C. [?1, 0]

D. [ ?

1 , 0] 2

10. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM

? 3,


点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 的值为 A. ?4
【答案】A

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?
C. 2



B. ?2

D. 4

11. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案) 已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q

是 AC 边上的动点, 且 AP ? ? AB, AQ ? ?1 ? ? ?AC, ? ? R ,则 BQ ? CP 的最大值为 A. ( )

3 2

B. ?

3 2

C.

3 8

D. ?

3 8

【答案】 D. 12. (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理) 若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向 )

量 a, b 的夹角为 A.30°
【答案】

( B.45° C. C.60° D.90°



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13. (2010 年高考 (北京理) a 、b 为非零向量?“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? xb ? a ) 为一次函数” ) (

?

?

?

?

? ?

? ?

的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
【 答 案 】

( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



B

;



:



? ? a?b

,



?2 ? 2 ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a · b =0, f ( x) ? ( xa ? b)?( xb ? a) =( a · b )x2+( b ? a )x-( a · b )=( b ? a )x,
( 若 | a |=| b |, 则 f(x) 是 常 数 , 不 是 一 次 函 数 ; 若 函 数 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) 为 一 次 函 数 , 则

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a · b =0,即 a ? b ,∴ “ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) 为一次函数”的必要不充分条件, (

二、填空题 14. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )在 ?ABC 中, D

B.

为 BC 中点,若 ?BAC ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 AD 的最小值是
【答案】

???? ????

????

.

2 2

15. (2013 北京海淀二模数学理科试题及答案)正方体

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 BD1 上

运动,则 DC ? AP 的取值范围是______________.
【答案】

???? ??? ?

[0,1]
?

16. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) Rt?ABC 中,?C ? 90 ,AC 在

? 4, BC ? 2 ,

uur uuu uuu u r r D 是 BC 的中点,那么 ( AB ? AC ) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC (包括边

界)内任一点.则 AD ? EP 的取值范围是___________.
【答案】2; [?9,9]

uuu uur r

解: ( AB ? AC ) ? AD ? CBg( AC ? CD) ? CBg CD ?

uur uuu u r

uuu r

uur uuu uuu r r

uur uuu r

1 uur 2 1 2 CB ? ? 2 ? 2 . 2 2

将 直 角 三 角 形 放 入 直 角 坐 标 系 中 , 则 A(0, 4), B(2,0), E(1, 2), D(1,0) , 设 P( x, y ) , 则

u u ur u u r A D? E P ( 1 , ? g ) ( ? 1 y? ? 4 x ,

2 )x? ?

y令 7 4? , z ? x ? 4y ? 7, y ? 则

1 7?z 1 , 做直线 y ? x , x? 4 4 4

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1 1 7?z 经过点 A 时,直线的截距最大,但此时 z 最小, x ,由图象可知当直线 y ? x ? 4 4 4 当直线 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大。即 z 的最下值为 z ? ?4 ? 4 ? 7 ? ?9 ,最大值为
平移直线 y ?

uuu uur r uuu uur r 即 z ? 2 ? 7 ? 9 , ?9 ? AD ? EP ? 9 。 AD ? EP 的取值范围是 [?9,9] 。
17 . 2012 北 京 理 ) 13.已知正方 形 ABCD 的边 长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为 (

________, DE ? DC 的最大值为______.
【 答 案 】 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 数 量 积 公 式 DE ? CB ? DE ? DA ? | DE | ? | DA | cos? , 由 图 可 【

知, | DE | ? cos? ?| DA | ,因此 DE ? CB ?| DA | ? 1 ,
2

DE ? DC ?| DE | ? | DC | cos? ?

| DE | ? cos?

,



| DE | ? cos? 就 是 向 量 DE 在 DC 边 上 的 射 影 , 要 想 让
最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 DC ,所以 【答案】1,1
18. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)在 ?ABC 中,若 BA ? BC

DE ? DC
长度为 1.

??? ??? ? ?

? 4 , ?ABC 的面

积为 2 ,则角 B ? _____________.
【答案】 45? 19. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )在边长为的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上

一动点,则 AB ? AD 的取值范围是
【答案】 [ ,1]

??? ???? ?



1 2



解 析 】 因 为 D 在 BC 上 , 所 以 设 BD ? x,0 ? x ? 1 , 则 B D?

? ? ??

? ? ?? x B。 所 以 C

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 A B A D A? B A B) B D ? ? ( ? ?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? B ? A B c ?D? 1 2 0 ? 1 因 为 0 ? x ? 1 , 所 以 A 1 ? Bo s x , ? x 2 ??? ???? ? 1 1 1 ? 1 ? x ? 1 ,即 AB ? AD 的取值范围数 [ ,1] 。 2 2 2

20. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, BC =2,点 E 为 BC 的中点,
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点 F 在边 CD 上,若 AB · AF = 2 ,则 AE · BF 的值是__________________.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

【答案】 2 21. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知 | a |? 1 , | b |? 2 ,向量 a 与 b 的夹角为 60 ,则 | a ? b |?
?

?

?

?

?

?

?

.

【答案】

7

22. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点

A 是半圆

??? ??? ? ? x 2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ( 2 ≤ x ≤ 4 )上的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.当 OA ? OC ? 20 时,则点

C 的纵坐标的取值范围是__________.
【答案】 [?5,5] 23. (2013 届北京丰台区一模理科)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=1,BC=2,E 是 CD 的中

??? ??? ? ? 点, 则 CD ? BE ?
【答案】-1;

.

24. (2013 届北京大兴区一模理科)已知矩形 ABCD 中, AB = 2 , AD = 1 ,E、F 分别是 BC、CD 的中点,

??? ??? ???? ? ? 则 ( AE + AF ) AC 等于
【答案】



15 2

25. (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? ,

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?
【答案】 4



解:

,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为 P 是斜边 AB 上的一
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个 三 等 分 点 , 所 以

??? 1 ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? AP ? AB , 所 以 C P ? C ?A A P ?C , 所 以 B ? A A 3 3 ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? 1 8 ? , C ? C A ? A? P ? C 4 ? B ?C A 2 A 2 ? 2 ?c o s 1 3 5 ? 3 3 3 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? 8 4 ? ? ? ? 4 CP? ? CA? ? AB? ? ? 2 2 ? 2cos 45? ? ,所以 CP ? CB ? CP ? CA ? ? ? 4 。 CB CB CB 3 3 3 3 3

26. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知向量 a ? (1,3) ,b ? (?2,1) ,c ? (3, 2) .

若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____.
【答案】 k

? ?1
b? ( k , 3 ) ? ( 2 1 k ? ( k ? ,因 为 向 )量 c 与 向 量 ka ? b 共 线 , 所 以 1 , ? ) + 2 1 , 3
,解得 k0 ?1 。 1) = ?

? 解 : k a

? ?

2 k ? 2 ) k ?( 3 ( ? 3

27. (2013 届北京西城区一模理科)如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______.

???? ??? ?

【答案】 ?

3 2

28. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理试题)正三角形 ABC 边长为 2,设

??? ? ??? ???? ? ??? ? ???? ? ???? BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE ? _____________.
【 答 案 】 ?2 【 解 析 】 因 为 AD ? AB ? BD ? AB ?

? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? BC , BE ? AE ? AB ? AC ? AB , 所 以 2 3 ???? ??? ? ??? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2? ?? ? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ??1 ? ? ?? ? ?1 AD?BE ? ( AB ? BC )? AC ? AB) ? A B? A C? B ? A C ( C ? BC AB AB ? ? 2 3 3 6 2 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 22 ? ?2 3 2 6 2 2 2

????

??? ??? ? ?

??? ?

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