空间几何体的三视图、表面积、体积专题复习

空间几何体的三视图、表面积、体积专题复习
【知识要点】 1.简单空间几何体的基本概念: 几何体 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台 球面 球 几何体 基本概念 底面是正多面形,并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的几何体是正棱台 以矩形的一边所在的直线为轴,将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 以直角三角形的一边所在的直线为轴,将直角三角形旋转一周形成的曲面围成 的几何体 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴,将直角梯形旋转一周形成的曲 面围成的几何体 半圆以它的直径为轴旋转,旋转而成的曲面 球面所围成的几何体 性质 补充说明

2.简单空间几何体的基本性质: (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等,侧面及 (2) 两个底面与平行于底面的截面是全等 对角面都是矩形 的多边形 (2) 长方体一条对角线的平方等于一 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是 个顶点上三条棱长的平方和 平行四边形 (1)侧棱都相等,侧面是全等的等腰三角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影 组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角 形 (1) 球心和球的截面圆心的连线垂直于截 (1)过球心的截面叫球的大圆,不过球 面 心的截面叫球的小圆 (2)球心到截面的距离 d,球的半径 R,截 (2)在球面上,两点之间的最短距离, 就是经过这两点的大圆在这两点间 面圆的半径 r 满足 r ? R2 ? d 2 的一段劣弧的长度(两点的球面距离)

棱柱

正棱锥



3.简单几何体的三视图与直观图: (1)平行投影: ①概念:在一束平行光线照射下的投影叫做平行投影. ②平行投影的性质: 性质 1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 性质 2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线; 性质 3.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; 性质 4.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; 性质 5.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. (2)直观图:斜二侧画法画简单空间图形的直观图. (3)三视图(见右图) : ①正投影:在平行投影中,如果投射线与投射面垂直,这样的平行投影叫做正投影. ②三视图:光线由几何体前面向后面投射,得到的投影图叫做几何体的正(主)视图;光线由几何体左面向右面投

射,得到的投影图叫做几何体的侧(左)视图;光线由几何体上面向下面投射,得到的投影图叫做几何体的俯视图. ③画三视图的基本原则: “长对正,高平齐宽相等” . ④画三视图的要求:能看见的轮廓线和棱用实线,不能看见的轮廓线和棱用虚线. 4.简单几何体的表面积与体积: (1)柱体、锥体、台体和球的表面积: ①S 直棱柱侧面积=ch,其中 c 为底面多边形的周长,h 为直棱柱的高. ② S正棱锥形面积 ? ③ S正棱台侧面积

1 ch ? ,其中 c 为底面多边形的周长,h'为正棱锥的斜高. 2 1 ? (c ? c?)h? ,其中 c' ,c 分别是棱台的上、下底面周长,h'为正棱台的斜高. 2

④S 圆柱侧面积=2?Rh,其中 R 是圆柱的底面半径,h 是圆柱的高. ⑤S 圆锥侧面积=?Rl,其中 R 是圆锥的底面半径,l 是圆锥的母线长. ⑥S 球=4?R2,其中 R 是球的半径. (2)柱体、锥体、台体和球的体积: ①V 柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 1 ③ V台体 ? h( S ? SS ? ? S ?) ,其中 S',S 分别是台体的上、下底面的面积,h 为台体的高. 3 4 3 ④ V球 ? πR ,其中 R 是球的半径. 3
② V锥体 ? 练习: 1. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 2 的正方形,主视图与左视图是边长为 2 的正 ? , 则其全面积是 A.8 B.12 C. 4(1 ? 3) D. 4 3
2 2
主视图

2

2. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4? ? 1 C. B.

4? ?1 3

2
左视图

4? ?8 3

D. 4? ? 8

俯视图

3. 如右图,已知一个锥体的正视图,侧视图和俯视图均为 Rt ? ,且面积分别为 3,4,6,则该锥体的体积为( A. 24 B. 8 C. 12 D. 4 4. 如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视 图轮廓为正方形,则其体积是( 4 2 A. 3 4 3 B. 3 C. 3 6 8 D. 3 5题 )



5. 用大小相同的且体积为 1 的小立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如上图所示,则它的体积的最小值与 最大值分别为( A.9 与 13 ) B.7 与 10 C.10 与 16 D.10 与 15 )

6. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

A

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④
C

7. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图中 ?ABC 是边长为 2 的正 ? ,俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为 A. 12 B.

正 视 图

侧 视 图

俯 视 图 8. 如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象可能是(

2 3

C.

3 2

D. 6



h

h

h

h

正 视图

侧 视图

A

O

t

B

O

t

C

O

t

D

O

t

俯 视图

9. (2008 年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6的线段,在该 几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5
2 3

)
2

10.一个正三棱柱的三视图如下所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( ) A. 2,2 3 B. 2 2 ,2 C. 4,2 D. 2,4 )

主视图

左视图

11.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(

40 A. 3

20 5 B. 3

50 C. 3

41 D. 6

俯视图

12.下图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为(



4 3 3 正视图 图 3 俯视图 图 B.36 A.72 C.24 D.12 13.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 ( ) 3 3 3 3 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 14.一个圆锥的正视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、 下两 部分,则截面的面积为( )

侧视图 图

13 题

A.

? 4

B. ?

C.

9? 4

D. 4?

4

6 图2 15.如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( A.36 B.108 C.72 D.180 ) )

16.已知某四棱锥的三视图,如图.则此四棱锥的体积为( A.3 B.4 C.5 D.6 17.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为(

2 2


4
正视图

2
侧视图

2
4 2 4 2 正视 图 2 侧视 图

2
俯视图

16 题

俯视 图 A.

第 17 题图

8π 10 π B. 3π C. D. 6 π 3 3 18.已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? (



A. 12?

B. 16?

C. 18?

D. 64? )

19.已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体 积是 ( A. 8cm
3

B. 12cm

3

C. 24cm

3

D. 72cm

3

20.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.9 B.10 C.11 D.



23 2


8 5 21.一空间几何体的三视图如右上图所示,该几何体的体积为 12π + ,则正视图与侧视图中 x 的值为( 3

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 22.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正 ? )的高与底面边长均为 2,其直观图和正视图如下,则它的侧视图的 面积是 .

1

1

直观图

正视图

21 题

22 题

2

2

3

正视图

侧视图

1 1 俯视图

第 20 题图

23.设某几何体的三视图如下左边所示(尺寸的长度单位为 m) 。 则该几何体的体积为

m3

24. 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如上中图,则该几何体的侧面积为________cm2. 25. 如上右图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3,则 a=________.

26. 如图 E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 下图中的_________(要求把可能的序号都填上).

27. 下面三个图中,左图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm) (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.
D' G F B'
4

C'

6 2

2

2

E D A B C
4

正视图

侧视图

28.已知一个圆锥的底面半径为 R, 高为 H .在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2) x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 29. 如右上图所示,一个倒圆锥形的容器,它的截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并向容器 内注水,使水面与铁球相切,将球取出后,容器内的水深是多少?


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