2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(解析版)

2016 年上海市六校联考高考数学模拟试卷(理科) (3 月份)
一、填空题(本大题满分 42 分) 1.复数 z=3﹣2i 的模为______. 2.函数 y=cos(3x﹣ )的最小正周期为______.

3.抛物线 y2=2x 的准线方程是______. 4.在(x2﹣ )7 的二项展开式中,x5 项的系数为______. 5. 已知地球的半径为 6371 千米, 上海位于约东经 121°, 北纬 31°, 台北的位置约为东经 121°, 北纬 25°,则两个城市之间的球面距离约为______千米(结果精确到 1 千米)

6.直线 l 的方程为

=0,则直线 l 的倾斜角为______.

7.已知 α﹣β=

,cosα+cosβ= ,则 cos

=______.

8.已知递增的等差数列{an}的公差为 d,又 a2,a3,a4,a5,a6 这 5 个数列的方差为 3,则 d=______. 9.已知直线经过点 P(2,0) ,且被圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4 截得的弦长为 2 ,则这条 直线的方程为______. 10.设函数 y=f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的 线段 AB,则方程[f(x)]2=x 的最大实数根的值为______.

11. a2015?a2016>1, 等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项积为 Tn, 且满足 a1>1, (a2015﹣1) (a2016 ﹣1)<0,给出以下四个命题:①q>1;②a2015?a2017<1;③T2015 为 Tn 的最大值;④使 Tn>1 成立的最大的正整数 4031,则其中正确的命题序号为______. 12.已知 , , 为空间三个向量,又 , 是两个相互垂直的单位向量,向量 满足| |=3, =2, ? =1,则对于任意实数 x,y,| ﹣x ﹣y |的最小值为______. 13.在极坐标下,定义两个点(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2) (ρ1,ρ2>0,0≤θ1,θ2≤2π)的“极 坐标中点“为( , ) ,设点 A、B 的极坐标为(4, )与(8, ) ,

N 为点 A、 B 的“极坐标中点”, 设 M 为线段 AB 的中点, 则线段 MN 的长度的平方为______. 14.先阅读参考材料,再解决此问题: 参考材料:求抛物线弧 y=x2(0≤x≤2)与 x 轴及直线 x=2 围成的封闭图形的面积 解:把区间[0,2]进行 n 等分,得 n﹣1 个分点 A( ,0) (i=1,2,3,…,n﹣1) ,过分

点 Ai,作 x 轴的垂线,交抛物线于 Bi,并如图构造 n﹣1 个矩形,先求出 n﹣1 个矩形的面

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积和 Sn﹣1,再求 为(

Sn﹣1,即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为 ,第 i 个矩形的高 )2; [12+22+32+…+(n﹣1)2]=

)2,所以第 i 个矩形的面积为 ?(

Sn﹣1=

[

+

+

+… +

]=

? 所以封闭图形的面积为 ? =

阅读以上材料,并解决此问题:已知对任意大于 4 的正整数 n,不等式

+

+

+… +

<an 恒成立,则实数 a 的取值范围为______.

二、选择题 15.函数 y=f(x)是实数集 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是单调递增函数,若 f(a) ≤f(2) ,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥﹣2 B.a≥2 或 a≤﹣2 C.﹣2≤a≤2 D.a≤2 16.复数 z 满足 z? +z+ =17,则|z+2﹣i|的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17.给定正三棱锥 P﹣ABC,M 点为底面正三角形 ABC 内(含边界)一点,且 M 到三个侧 面 PAB、PBC、PAC 的距离依次成等差数列,则点 M 的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.一条线段 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 18.某年数学竞赛请来一位来自 X 星球的选手参加填空题比赛,共 10 道题目,这位选手做 题有一个古怪的习惯:先从最后一题(第 10 题)开始往前看,凡是遇到会的题就作答,遇 到不会的题目先跳过(允许跳过所有的题目) ,一直看到第 1 题;然后从第 1 题开始往后看, 凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案,遇到先前已答的题目则跳过(例如,他可以按照 9,8,7,4,3,2,1,5,6,10 的次序答题) ,这样所有的题目均有作答,设这位选手可 能的答题次序有 n 种,则 n 的值为( ) A.512 B.511 C.1024 D.1023 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 66 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
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19.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB. (1)求 cosB 的值; (2)若 ,且 ,求 a 和 c 的值. 20. (理)在长方体 ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1. 求: (1)顶点 D'到平面 B'AC 的距离; (2)二面角 B﹣AC﹣B'的大小. (结果用反三角函数值表示)

21. =|3x﹣1|, f2 =|a?3x﹣9|, x∈R, = 已知 f1 (x) (x) 且f (x) (1)当 a=1 时,请写出 f(x)的单调递减区间; (2)当 2≤a<9 时,设 f(x)=f2(x)对应的自变量取值区间的长度为 l(闭区间[m,n] 的长度定义为 n﹣m)求 l 关于 a 的表达式,并求出 l 的取值范围. 22.已知椭圆 Γ: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 T(﹣2, )在

椭圆 Γ 上,且|TF1|+|TF2|=8. (1)求椭圆的方程; Q 在椭圆 Γ 上, O 为坐标原点, OQ 的斜率之积为 , (2) 点 P, 且直线 OP, 求证: |OP|2+|OQ|2 为定值; (3)直线 l 过点(﹣1,0)且与椭圆 Γ 交于 A,B 两点,问在 x 轴上是否存在定点 M,使 得 为常数?若存在,求出点 M 坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由. 23.已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当 n≤y≤n+1(n=0,1,2,…) =n 1, 2…) 时, 该图象是斜率为 bn 的线段, 其中常数 b>0 且 b≠1, 数列{xn}由 f (xn) (n=0, 定义. (1)若 b=3,求 x1,x2; (2)求 xn 的表达式及 f(x)的解析式(不必求 f(x)的定义域) ; (3)当 b>1 时,求 f(x)的定义域,并证明 y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大 于 1 的公共点.

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2016 年上海市六校联考高考数学模拟试卷(理科) (3 月 份)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 42 分) 1.复数 z=3﹣2i 的模为 . 【考点】复数求模. 【分析】直接利用复数模的求法,求解即可. 【解答】解:复数 z=3﹣2i 的模为:|3﹣2i|= 故答案为: . = .

2.函数 y=cos(3x﹣

)的最小正周期为



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用 y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T= 【解答】解:函数 y=cos(3x﹣ 故答案为: . ,得出结论. ,

)的最小正周期为

3.抛物线 y2=2x 的准线方程是



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先根据抛物线方程求得 p,进而根据抛物线的性质,求得答案. 【解答】解:抛物线 y2=2x,∴p=1, ∴准线方程是 x=﹣ 故答案为:﹣

4.在(x2﹣ )7 的二项展开式中,x5 项的系数为 ﹣280 . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 5,求出 r 的值,即可求得 x5 项的 系数. 【解答】解:在(x2﹣ )7 的二项展开式 Tr+1= 求得 r=3,可得 x5 项的系数为﹣8? =﹣280,
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?(﹣2)r?x14﹣3r 中,令 14﹣3r=5,

故答案为:﹣280. 5. 已知地球的半径为 6371 千米, 上海位于约东经 121°, 北纬 31°, 台北的位置约为东经 121°, 北纬 25°,则两个城市之间的球面距离约为 667 千米(结果精确到 1 千米) 【考点】球面距离及相关计算. 【分析】由于上海 A、台北 B 两点都在东经 121°,计算它们的纬度差,然后求两地的大圆 劣弧的长即为上海 A、台北 B 两点的球面距离. 【解答】解:上海 A、台北 B 两点都在东经 121°,纬度差是 6°, 所以 A、B 两地的球面距离是过 A、B 的大圆的劣弧的长, 故劣弧的长为 故答案为:667. ≈667.

6.直线 l 的方程为

=0,则直线 l 的倾斜角为 π﹣arctan



【考点】直线的倾斜角. 【分析】求出直线方程,得到直线的斜率,从而求出直线的倾斜角.

【解答】解:∵直线 l 的方程为

=0,

∴直线方程是:2x+4y﹣1=0, 直线的斜率是:﹣ , 则直线 l 的倾斜角为:π﹣arctan , 故答案为:π﹣arctan .

7.已知 α﹣β=

,cosα+cosβ= ,则 cos

=



【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 【分析】由条件利用和差化积公式求得 cos 【解答】解:∵α﹣β= ∴cos 故答案为: = . , ,cosα+cosβ=2cos 的值. cos =2cos ?cos = ,

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8.已知递增的等差数列{an}的公差为 d,又 a2,a3,a4,a5,a6 这 5 个数列的方差为 3,则 d= .

【考点】极差、方差与标准差. 【分析】根据等差数列的定义与性质,利用平均数与方差的公式,即可求出 d 的值. 【解答】解:等差数列{an}中,公差 d>0, 又 a2,a3,a4,a5,a6 的平均数为: = (a2+a3+a4+a5+a6)=a4, 方差为 s2= + 解得 d=± 故答案为: [ ]=2d2=3, ,应取 d= . . + + +

9.已知直线经过点 P(2,0) ,且被圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4 截得的弦长为 2 ,则这条 直线的方程为 x=2 和 3x﹣4y﹣6=0 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理,求出弦心 距,通过直线的斜率存在与不存在,利用圆心到直线的距离求解,求出直线的方程即可. 【解答】解:圆心(3,2) ,半径 r=2,弦长 m=2 , 设弦心距是 d, 则由勾股定理 r2=d2+( )2 得 d=1. 若 l 斜率不存在,是 x=2. 圆心和 x=2 距离是 1,满足题意. y=k(x﹣4) , kx﹣y﹣4k=0, 则 d= k2+4k+4=k2+1, k= ,所以 x=2 和 3x﹣4y﹣6=0, =1,

故答案为:x=2 和 3x﹣4y﹣6=0. 10.设函数 y=f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的 线段 AB,则方程[f(x)]2=x 的最大实数根的值为 .

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【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】根据条件求出函数 f(x)的解析式,利用函数与方程的关系进行转化求解即可. 【解答】解:由图象知,直线方程设 y=kx+b,则 则 AB 的方程为 y=x+1,0≤x≤1, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴当﹣1≤x≤0 时,0≤﹣x≤1, 则 f(x)=f(﹣x)=﹣x+1,﹣1≤x≤0, 当 x≥0 时,由[f(x)]2=x 得 f(x)= , ∵函数 y=f(x)是最小正周期为 2 的偶函数, ∴作出函数 f(x)和 g(x)= 的图象如图, 由图象知 f(5)=f(3)=f(1)=2, g(3)= <2,g(5)= >2, 则当 3≤x≤4 时,方程 f(x)= 取得最大根, 当 3≤x≤4 时,﹣1≤x﹣4≤0, 则 f(x)=f(x﹣4)=﹣(x﹣4)+1=﹣x+5, 由 f(x)= 得﹣x+5= , 平方得 x2﹣10x+25=x, 即 x2﹣11x+25=0, 得 x= = (舍)或 x= = ,即 ,

故答案为:

11. a2015?a2016>1, 等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项积为 Tn, 且满足 a1>1, (a2015﹣1) (a2016 ﹣1)<0,给出以下四个命题:①q>1;②a2015?a2017<1;③T2015 为 Tn 的最大值;④使 Tn>1 成立的最大的正整数 4031,则其中正确的命题序号为 ②③ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用等比数列的性质可知 a2015>1,a2016<1,得出 q<1,进而判断②③④即可.

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【解答】解:①等比数列{an}的公比为 q,且满足 a1>1,a2015?a2016>1, (a2015﹣1) (a2016 ﹣1)<0, ∴a2015>1,a2016<1, ∴q<1,故错误; ②a2015?a2017=a2016×a2016<1,故正确; ③a2015>1,a2016<1,a1>1,q<1, ∴前 n 项积为 Tn 的最大值为 T2015 故正确; ④T4030=a1?a2…a4030=(a1?a4030) (a2?a4029)…(a2015?a2016)=(a2014?a2015)2015>1, T4031=a1?a2…a4031=(a1?a4031) (a2?a4030)…(a2015?a2017)a2016<1, 4030 故成立的最大的正整数 ,故错误. 故答案为:②③. 12.已知 , , 为空间三个向量,又 , 是两个相互垂直的单位向量,向量 满足| |=3, =2, ? =1,则对于任意实数 x,y,| ﹣x ﹣y |的最小值为 2 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知可得 , ,展开 ,利用配方法求其最

小值,则| ﹣x ﹣y |的最小值可求. 【解答】解:由题意可知: , =2, ? =1, 又| |=3, ∴ =



=9+x2+y2﹣4x﹣2y=(x﹣2)2+(y﹣1)2+4, 当且仅当 x=2,y=1 时, ∴| ﹣x ﹣y |的最小值为 2. 故答案为:2. 13.在极坐标下,定义两个点(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2) (ρ1,ρ2>0,0≤θ1,θ2≤2π)的“极 坐标中点“为( , ) ,设点 A、B 的极坐标为(4, )与(8, ) , ,

设 M 为线段 AB 的中点,N 为点 A、B 的“极坐标中点”,则线段 MN 的长度的平方为 56 ﹣36 . 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】取出 M,N 的直角坐标,代入两点间的距离公式计算. 【解答】解:A 的直角坐标为 A(4cos 8sin ) ,即 B(﹣8sin ,8cos ﹣4sin ,4sin ) . ,2sin +4cos ) , ,6sin ) . ) ,B 的直角坐标为 B(8cos ,

∴AB 的中点坐标为 M(2cos AB 的极坐标中点为 N(6,

) .N 的直角坐标为 N(6cos

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∴|MN|2=(2cos =4+16+36﹣16cos ﹣24sin =56﹣24cos sin

﹣4sin sin ﹣48cos

﹣6cos ﹣24cos sin ) cos

)2+(2sin +48sin

+4cos cos

﹣6sin +16cos

)2 sin

+48sin(﹣

=56﹣36 . 故答案为 56﹣36



14.先阅读参考材料,再解决此问题: 参考材料:求抛物线弧 y=x2(0≤x≤2)与 x 轴及直线 x=2 围成的封闭图形的面积 解:把区间[0,2]进行 n 等分,得 n﹣1 个分点 A( ,0) (i=1,2,3,…,n﹣1) ,过分

点 Ai,作 x 轴的垂线,交抛物线于 Bi,并如图构造 n﹣1 个矩形,先求出 n﹣1 个矩形的面 积和 Sn﹣1,再求 为( Sn﹣1,即是封闭图形的面积,又每个矩形的宽为 ,第 i 个矩形的高 )2; [12+22+32+…+(n﹣1)2]=

)2,所以第 i 个矩形的面积为 ?(

Sn﹣1=

[

+

+

+… +

]=

? 所以封闭图形的面积为 ? =

阅读以上材料,并解决此问题:已知对任意大于 4 的正整数 n,不等式

+

+

+… +

<an 恒成立,则实数 a 的取值范围为 [

,+∞) .

【考点】数列与函数的综合.

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【分析】作出 f(x)=

(0≤x≤1)的图象,可得为以 O 为原点,1 为半径的 圆.把

区间[0,1]进行 n 等分,得 n﹣1 个分点 Ai( ,0) (i=1,2,3,…,n﹣1) ,过分点 Ai, 作 x 轴的垂线,交图象于 Bi,并如图构造 n﹣1 个矩形,先求出 n﹣1 个矩形的面积和 Sn﹣1, 再求 Sn﹣1,即是封闭图形的面积,运用圆的面积公式结合恒成立问题的解法,即可得

到 a 的范围. 【解答】解:作出 f(x)= (0≤x≤1)的图象,

可得为以 O 为原点,1 为半径的 圆. 把区间[0,1]进行 n 等分,得 n﹣1 个分点 Ai( ,0) (i=1,2,3,…,n﹣1) , 过分点 Ai,作 x 轴的垂线,交图象于 Bi,并如图构造 n﹣1 个矩形,先求出 n﹣1 个矩形的 面积和 Sn﹣1,再求 Sn﹣1,即是封闭图形的面积, ,

又每个矩形的宽为 ,第 i 个矩形的高为 所以第 i 个矩形的面积为 ? ;

Sn﹣1=

[

+

+

+… + ?12=

],

则封闭图形的面积为

=Sn﹣1=



由 a>

[

+

+

+… +

]恒成立,

可得 a 的范围是 a≥ 故答案为:[



,+∞) .

二、选择题 15.函数 y=f(x)是实数集 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是单调递增函数,若 f(a) ≤f(2) ,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥﹣2 B.a≥2 或 a≤﹣2 C.﹣2≤a≤2 D.a≤2
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【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据条件可知 f(x)在[0,+∞)上单调递减,而根据 f(x)为偶函数可得到 f(|a|) ≤f(2) ,从而便有|a|≥2,解该不等式即可得出实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意得,f(x)在[0,+∞)上单调递减; f(x)为 R 上的偶函数; ∴由 f(a)≤f(2)得,f(|a|)≤f(2) ; ∴|a|≥2; ∴a≥2,或 a≤﹣2. 故选:B. 16.复数 z 满足 z? +z+ =17,则|z+2﹣i|的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】复数求模. 【分析】利用复数模的几何意义,求得满足 z? +z+ =17,的复数 z 在复平面上的对应点 z 的轨迹,|z+2﹣i|表示 z 与(﹣2,1)的距离,显然点到直线的距离最小,即可得出结论. 【解答】解:设复数 z 在复平面上的对应点为 Z(x,y) , 2 2 2 2 则 z? +z+ =17,可得 x +y +2x=17,即: (x+1) +y =18, ∴点 Z 的轨迹是以(﹣1,0)为圆心,3 为半径的圆. |z+2﹣i|的最小值为半径减去圆心与(﹣2,1)的距离,最小值为: =2 故选:A. 17.给定正三棱锥 P﹣ABC,M 点为底面正三角形 ABC 内(含边界)一点,且 M 到三个侧 面 PAB、PBC、PAC 的距离依次成等差数列,则点 M 的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.一条线段 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 【考点】轨迹方程. 【分析】先设点 M 到三个侧面 PAB、PBC、PCA 的距离为 d﹣a,d,d+a,正三棱锥 P﹣ABC 中各个侧面的面积为 S,体积为 V,用等体积法可得 d 为常数,作平面 α∥面 PBC 且它们的 面面距离为 d,则 α 与面 ABC 的交线即为点 M 的轨迹. 【解答】解:设点 M 到三个侧面 PAB、PBC、PCA 的距离为 d﹣a,d,d+a 正三棱锥 P﹣ABC 中各侧面的面积为 S,体积为 V, 则 S(d﹣a)+ d+ (d+a )=V,即 Sd=V, .

所以 d 为常数. 作平面 α 使 α∥面 PBC 且它们的距离为 d,则 α 与面 ABC 的交线即为点 M 的轨迹. 易知 M 的轨迹为一条线段. 故选:B. 18.某年数学竞赛请来一位来自 X 星球的选手参加填空题比赛,共 10 道题目,这位选手做 题有一个古怪的习惯:先从最后一题(第 10 题)开始往前看,凡是遇到会的题就作答,遇 到不会的题目先跳过(允许跳过所有的题目) ,一直看到第 1 题;然后从第 1 题开始往后看, 凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案,遇到先前已答的题目则跳过(例如,他可以按照
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9,8,7,4,3,2,1,5,6,10 的次序答题) ,这样所有的题目均有作答,设这位选手可 能的答题次序有 n 种,则 n 的值为( ) A.512 B.511 C.1024 D.1023 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】由于每道题的都有两种情况,答或者不答,故根据分步计数原理可得. 【解答】解:每道题的都有两种情况,答或者不答,从 10﹣9,有两种选择,从 9﹣8 也有 两种选择,以此类推 8﹣7,7﹣6,6﹣5,5﹣4,4﹣3,3﹣2,2﹣1,而从 1 题到第 10 道题 只有一种选择,故有 1×29=512 种, 故选:A. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 66 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB. (1)求 cosB 的值; (2)若 ,且 ,求 a 和 c 的值. 【考点】余弦定理的应用;三角函数的恒等变换及化简求值. 【分析】 (1)由条件得 sin(B+C)=3sinAcosB,再由 sin(B+C)=sinA≠0,可得 .

(2)由两个向量的数量积的定义得到 ac=6,再由余弦定理可得 a2+c2=12,解方程组可求得 a 和 c 的值. 【解答】解: (1)由 sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB,得 sin(B+C)=3sinAcosB, 因为 A、B、C 是△ABC 的三内角,所以 sin(B+C)=sinA≠0, 因此 (2) . ,即 ac=6,

由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB,所以 a2+c2=12, 解方程组 ,得 .

20. (理)在长方体 ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1. 求: (1)顶点 D'到平面 B'AC 的距离; (2)二面角 B﹣AC﹣B'的大小. (结果用反三角函数值表示)

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;点、线、面间的距离计算.

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【分析】 (1)利用空间向量来求点到平面的距离,必须先建立空间直角坐标系,找到已知点 坐标,求出平面的法向量,再借助点到平面的距离公式 来计算,其中 为平

面的法向量, 为点 D′与平面上任意一点的向量. (2)欲求二面角的大小,只需求出两个平面的法向量的夹角,再借助图形判断,法向量的 夹角是二面角的夹角,还是其补角. 【解答】解: (1)如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,0) 、D(0,0,0) 、C(0,2,0) 、A'(1,0,1) 、B'(1,2,1) 、D'(0,0,1) . 设平面 B'AC 的法向量为 因为 所以 且 . ,于是顶点 D'到平面 B'AC 的距离 , ,则 , , . , , ,

解得 u=2v,w=﹣2v,取 v=1,得平面 B'AC 一个法向量

在平面 B'AC 取一点 A,可得



所以顶点 D'到平面 B'AC 的距离为 , (2)因为平面 ABC 的一个法向量为 ,设与 的夹角为 α,则



结合图形可判断得二面角 B﹣AC﹣B'是一个锐角,它的大小为



21. =|3x﹣1|, f2 =|a?3x﹣9|, x∈R, = 已知 f1 (x) (x) 且f (x) (1)当 a=1 时,请写出 f(x)的单调递减区间; (2)当 2≤a<9 时,设 f(x)=f2(x)对应的自变量取值区间的长度为 l(闭区间[m,n] 的长度定义为 n﹣m)求 l 关于 a 的表达式,并求出 l 的取值范围. 【考点】函数与方程的综合运用.
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【分析】 (1)运用指数不等式的解法和绝对值的含义,可得 f(x)的解析式,再由指数函 数的单调性,即可得到所求单调区间; (2) 由题意可得 f( ≤f( , 即为|a?3x﹣9|≤|3x﹣1|, 结合条件, 化简整理可得 log3 2 x) 1 x) ≤x≤log3 ,可得 l=log3 ﹣log3 ,运用对数的运算性质,化简整理,再由对数

函数的单调性,可得 l 为关于 a 的减函数,进而得到 l 的范围. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f2(x)=|a?3x﹣9|=|3x﹣9|, 当|3x﹣9|≥|3x﹣1|,可得(2?3x﹣10) (﹣8)≥0, x 3 5 x log 5 即为 ≤ ,即 ≤ 3 , 可得 f(x)=|3x﹣1|,x≤log35, 当 0≤x≤log35 时,f(x)=3x﹣1; 当 x<0 时,f(x)=1﹣3x; 当 x>log35,f(x)=|3x﹣9|, 当 x≥2 时,f(x)=3x﹣9, 当 log35<x<2 时,f(x)=9﹣3x. 则 x<0 时,f(x)=1﹣3x 递减; log35<x<2 时,f(x)=9﹣3x 递减. 综上可得,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) , (log35,2) ; 2 f x f x ( )由题意可得 2( )≤ 1( ) , 即为|a?3x﹣9|≤|3x﹣1|, 平方可得(a?3x﹣9)2≤(3x﹣1)2, 即有[(a﹣1)?3x﹣8][(a+1)?3x﹣10]≤0, 由 2≤a<9,可得(3x﹣ ) (3x﹣ )≤0,



﹣ ≤3x≤

=

>0,



, ≤x≤log3 ﹣log3 =log3 +log3 ) , ,

即有 log3 可得 l=log3 =log3

=log3 +log3(1+

由 2≤a<9,可得 l 是关于 a 的递减函数, 即有 0<l≤log3 . ].

则 l 的取值范围的范围是(0,log3

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22.已知椭圆 Γ:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 T(﹣2,

)在

椭圆 Γ 上,且|TF1|+|TF2|=8. (1)求椭圆的方程; Q 在椭圆 Γ 上, O 为坐标原点, OQ 的斜率之积为 , (2) 点 P, 且直线 OP, 求证: |OP|2+|OQ|2 为定值; (3)直线 l 过点(﹣1,0)且与椭圆 Γ 交于 A,B 两点,问在 x 轴上是否存在定点 M,使 得 为常数?若存在,求出点 M 坐标以及此常数的值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)由点 T(﹣2, )在椭圆 Γ 上,且|TF1|+|TF2|=8,列出方程组求出 a,b, 由此能求出椭圆的方程. (2)设直线 OP:y=kx,联立 |OP|2+|OQ|2 为定值. ,得(1+4k2)x2+8k2x+ ,求出|OP|2,同理求出|OQ|2,由此能证明

(3)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 l:y=k(x+1) ,由

(4k2﹣16)=0,推导出 (﹣1,﹣ ) ,从而

? ?

= =

,当 l 与 x 轴垂直时,l:x=﹣1,A(﹣1, ,由此能求出结果.

) ,B

【解答】解: (1)∵椭圆 Γ: 点 T(﹣2,

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,

)在椭圆 Γ 上,且|TF1|+|TF2|=8, ,解得 a=4,b=2,



∴椭圆的方程为

=1.

证明: (2)设直线 OP:y=kx, 联立方程组 ,得 x= ,

∴|OP|2=



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又直线 OQ:



同理,得|OQ|2=

=



∴|OP|2+|OQ|2=

=

=20,为定值.

解: (3)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 l:y=k(x+1) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(t,0) , 由 ,得(1+4k2)x2+8k2x+(4k2﹣16)=0,

又 ∴

=(x1﹣t,y1) , =(x2﹣t,y2) , =(x1﹣t) (x2﹣t)+y1y2=(x1﹣t) (x2﹣t)+k(x1+1)?k(x2+1) ,

=(1+k2)x1x2+(k2﹣t) (x1+x2)+(k2+t2)=



,得 t=﹣

,此时

?

=



当 l 与 x 轴垂直时,l:x=﹣1,A(﹣1, 又 M(﹣ ,0) ,∴ ,0) , ? ? = = , .

) ,B(﹣1,﹣

) ,

综上,M(﹣

23.已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当 n≤y≤n+1(n=0,1,2,…) =n 1, 2…) 时, 该图象是斜率为 bn 的线段, 其中常数 b>0 且 b≠1, 数列{xn}由 f (xn) (n=0, 定义. (1)若 b=3,求 x1,x2; (2)求 xn 的表达式及 f(x)的解析式(不必求 f(x)的定义域) ; (3)当 b>1 时,求 f(x)的定义域,并证明 y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大 于 1 的公共点. 【考点】数列与函数的综合. 【分析】 (1)由 f(0)=0,运用直线的斜率公式,f(xn)=n,可得 x1,x2; (2)由 x1=1,x2=1+ ,…,xn=x1+(x2﹣x1)+(x3﹣x2)+…+(xn﹣xn﹣1) ,运用等比数列 的求和公式,即可得到所求;再由直线的斜率公式可得 f(x)的解析式;

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(3)当 b>1 时,

xn=

,f(x)的定义域为[0,

) ,证明 b>1,1<x<

时,恒有 f(x)>x 成立.运用 f(x)的解析式,结合不等式的性质即可得到结论. 【解答】解: (1)依题意 f(0)=0,又由 f(x1)=1,当 0≤y≤1 时, 函数 y=f(x)的图象是斜率为 b0=1 的线段, 故由 =1,得 x1=1.

又由 f(x2)=2,当 1≤y≤2 时,函数 y=f(x)的图象是斜率为 b 的线段, 故由 =b,

即 x2﹣x1= = ,解得 x2= ; (2)由(1)可得 x1=1,x2=1+ , 由函数 y=f(x)图象中第 n 段线段的斜率为 bn﹣1, 故得 =bn﹣1,

又 f(xn)=n,f(xn﹣1)=n﹣1, ∴xn﹣xn﹣1=( )n﹣1, 由此知数列{xn﹣xn﹣1}为等比数列,其首项为 1,公比为 , 因 b≠1,得 xn=x1+(x2﹣x1)+(x3﹣x2)+…+(xn﹣xn﹣1) =1+ +( )2+…+=( )n﹣1= = ,

对 n=1 也成立,故 xn=



当 n≤y≤n+1 时,

=bn,

f(x)=f(xn)+(x﹣xn)bn=n+(x﹣xn)bn(n=0,1,2,…) : (3)当 b>1 时, 下面证明 b>1,1<x< 事实上,对 1<x< xn= ,f(x)的定义域为[0, 时,恒有 f(x)>x 成立. 时,存在 xn,使 xn≤x≤xn+1, ) ,

于是由 b>1 时,f(x)=f(xn)=bn(x﹣xn)>x﹣xn, 进而 f(x)﹣x>f(xn)﹣xn=n﹣xn,
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当 b>1 时,xn=1+ +

+…+

<n,

即 n﹣xn>0,可得 f(x)>x. 综上知,y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于 1 的公共点

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2016 年 9 月 20 日

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