2.1.1(一)变量与函数的概念教案学生版

第二章 函 数 § 2.1 函 数 2.1.1 函 数 第 1 课时 变量与函数的概念 【学习要求】 1.通过丰富实例,加深对函数概念的理解,学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中 的作用. 2.了解构成函数的三要素. 3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 【学法指导】 通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.函数的概念:设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一确定的数 y 与它对 应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x),x∈A.其中 x 叫做自变量,自变量的取值范围(数集 A) 叫做这个函数的定义域. 2.区间概念:设 a,b∈R,且 a<b. (1)满足 a≤x≤b 的全体实数 x 的集合,叫做闭区间,记作 [a,b]. (2)满足 a<x<b 的全体实数 x 的集合,叫做开区间,记作(a,b). (3)满足 a≤x<b 或 a<x≤b 的全体实数 x 的集合,叫做半开半闭区间,分别记作 [a,b)或(a,b]. (4)满足 x≥a,x>a,x≤a,x<a 的全体 实数 x 的集合分别表示为 [a,+∞) ,(a,+∞) ,(-∞,a] ,(-∞,a) . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 初中是用运动变化的观点对函数进行定义,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本 质.对于 y=1(x∈R)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应 的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要. 探究点一 变量与函数的概念 问题 1 阅读教材 29-30 页中的(1),(2),(3),(4)四个函数关系的例子,指出这四个例子的共同特点是什么?变量 之间的对应关系采用什么形式表达的?

问题 2 从上述的四个例子中,你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量?

问题 3 如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点?

问题 4 确定一个函数最少需要几个要素?为什么?

问题 5 若检查给定两个变量之间是否具有函数关系,只须检查什么?

例 1 对于函数 y=f(x),以下说法正确的有 ( ) ①y 是 x 的函数; ②对于不同的 x,y 的值也不同; ③f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量; ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

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跟踪训练 1 下列函数中哪个与函数 y=x 相等?(1)y=( x)2;

3 (2)y= x3;

(3)y= x2;

x2 (4)y= . x

探究点二 区间的概念 问题 1 阅读教材 31 页下半段,然后回答区间的概念是如何定义的?

问题 2 实数集 R 及 x≥a,x>a,x≤b,x<b 如何用区间表示?

问题 3 在数轴上如何表示区间[a,b]、(a,b)、[a,b)、(a,b]、[a,+∞)、(a,+∞)?

探究点三 求函数的定义域 导引 在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系 式有意义的实数的全体构成的集合. 问题 1 对于一个确定的函数关系式,我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域?

问题 2 在初中已学函数的定义域和值域是怎样的?

例 2 求下列函数的定义域:(1)f(x)=

1 1 ; (2)f(x)= 3x+2; (3)f(x)= x+1+ . x-2 2-x

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跟踪训练 2 求函数 f(x)=

1 的定义域. x+1

探究点四

求函数值和值域 1 例 3 求函数 f(x)= 2 (x∈R),在 x=0,1,2 处的函数值和值域. x +1

跟踪训练 3 求下列函数的值域.(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4};

(2)y= x+1.

例4

(1)已知函数 f(x)=x2,求 f(x-1);

(2)已知函数 f(x-1)=x2,求 f(x).

跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),求 f(x2)的定义域. (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域.

练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.下列说法中,不正确的是 ( ) A.函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应法则确定后,函数值域也就确定 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( ) A.函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B.函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了 C.数集都能用区间表示 D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 1-x 3.已知函数 f( )=x,求 f(2)的值. 1+x 课堂小结: 1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应法则一经确定,值域随之确定, 所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可. 2. f(x)是函数符号,f 表示对应法则,f(x)表示 x 对应的函数值,绝对不能理解为 f 与 x 的乘积.在不同的函数中 f 的具体含义不同,由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号 f(x)表示 外,还可用 g(x),F(x)等表示.

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