2016年秋高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数与映射习题


第一章 集合与函数的概念 1.2.2 函数的表示法 第 2 课时 分段函 数与映射习题 新人教 A 版必修 1

一、选择题 1.下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是 导学号 22840282 ( A.A=B=N+,对应关系 f:x→y=|x-3|
?0,x≥0, ? B.A=R,B={0,1},对应关系 f:x→y=? ? ?1,x<0.

)

C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系 f:x→y=± x 1 D.A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y= [答案] B [解析] 对 A 选项,当 x=3 时,y=0?B,排除 A 选项;对于 C 选项,对 x 的每一个值

x

y 有两个值与之对应,排除 C 选项;对于 D 选项,当 x=0 时,在 B 中没有元素与之对应,
排除 D 选项;只有 B 选项符合映射的概念,故选 B. 2.某学生离家去学校, 由于怕迟到, 所以一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程.在 图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则四个图形中较符合该学生走法的 是 导学号 22840283 ( )

[答案] D [解析] ∵纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,∴当 t=0 时,纵坐标表 示家到学校的距离,不能为零,故排除 A,C;又由于一开始是跑步,后来是走完余下的路, ∴刚开始图象下降的较快,后来下降的较慢,故选 D. 3.下列给出的函数是分段函数的是 导学号 22840284 (
?x +1,1<x≤5, ? ①f(x)=? ?2x,x≤1, ?
2

)

②f(x)=?

? ?x+1,x∈R, ?x ,x≥2, ?
2

1

?2x+3,1≤x≤5, ? ③f(x)=? 2 ?x ,x≤1, ? ? ?x +3,x<0, ④f(x)=? ?x-1,x≥5. ?
2

A.①② C.②④ [答案] B

B.①④ D.③④

[解析] 对于②取 x=2,f(2)=3 或 4,对于③取 x=1,f(1)=5 或 1,所以②、③都 不合题意.
? ?2x,x>0, 4.已知 f(x)=? ?f?x+1?,x≤0, ?

?4? ? 4? 则 f? ?+f?- ?等于 导学号 22840285 ( ?3? ? 3?
B.4 D.-4

)

A.-2 C.2 [答案] B

?4? 8 [解析] f? ?= , ?3? 3
f?- ?=f?- ?=f? ?= . 3 3 3

? 4? ? ?

? 1? ? ?

?2? 4 ? ? 3

?4? ? 4? ∴f? ?+f?- ?=4. ?3? ? 3?
5.已知集合 A 中元素(x,y)在映射 f 下对应 B 中元素(x+y,x-y),则 B 中元素(4, -2)在 A 中对应的元素为 导学号 22840286 ( A.(1,3) C.(2,4) [答案] A [解析] 由题意知?
? ?x+y=4, ?x-y=-2, ?

) B.(1,6) D.(2,6)

解得?

? ?x=1, ?y=3, ?

6.已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地前往 B 地, 在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地, 把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时 间 t(小时)的函数表达式是 导学号 22840287 ( A.x=60t B.x=60t+50
? ?60t,0≤t≤2.5, C.x=? ?150-50t,t>3.5 ? 2

)

60t,0≤t≤2.5, ? ? D.x=?150,2.5<t≤3.5, ? ?150-50?t-3.5?,3.5<t≤6.5 [答案] D [解析] 由于在 B 地停留 1 小时期间,距离 x 不变,始终为 150 千米,故选 D.

二、填空题 7.已知 a,b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 的值为________. 导学号 22840288 [答案] 1

b a

b ? ? =0, [解析] 由题意知?a ? ?a=1,

∴?

?b=0, ? ? ?a=1.

∴a+b=1.

?2,x∈[-1,1], ? 8 . 已 知 函 数 f(x) = ? ?x,x?[-1,1], ?

若 f(f(x)) = 2 , 则 x 的 取 值 范 围 是

________. 导学号 22840289 [答案] {2}∪[-1,1] [解析] 设 f(x)=t, ∴f(t)=2, 当 t∈[-1,1]时, 满足 f(t)=2, 此时-1≤f(x)≤1, 无解,当 t=2 时,满足 f(t)=2,此时 f(x)=2 即-1≤x≤1 或 x=2. 三、解答题 9.如图,函数 f(x)的图象是由两条射线 y1=k1x+b1(x≤1),y2=k2x+b2(x≥3)及抛物 线 y3=a(x-2) +2(1<x<3)的一部分组成,求函数 f(x)的解析式. 导学号 22840290
2

[ 解析 ] 2(x≤1),

由图知 ?

? ?k1+b1=1 ?b1=2 ?

解得 ?

? ?k1=-1 ?b1=2 ?

所以左侧射线的解析式为 y1 =- x +

同理 x≥3 时,右侧射线的解析式为:y2=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数的解析式为:

y3=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0),所以 a+2=1,a=-1,

3

所以抛物线的解析式为 y3=-x +4x-2(1<x<3). -x+2,x≤1 ? ? 2 综上所述,函数解析式为 y=?-x +4x-2,1<x<3 ? ?x-2,x≥3.

2

x+1,x≤-2, ? ? 2 10.已知函数 f(x)=?x +2x,-2<x<2, ? ?2x-1,x≥2.
5 (1)求 f(-5),f(- 3),f(f(- ))的值; 2 (2)若 f(a)=3,求实数 a 的值;

导学号 22840291

(3)若 f(m)>3m-5(m≥2),求实数 m 的取值范围. [分析] (1)形如 f(f(x))的求值问题,应如何解决? (2)在已知分段函数值的情况下,如何确定其对应的自变量的值? 5 [解析] (1)由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),- ∈(-∞,-2],知 f(-5)= 2 -5+1=-4,

f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3.
5 5 3 3 ∵f(- )=- +1=- ,而-2<- <2, 2 2 2 2 5 3 3 2 3 9 3 ∴f(f(- ))=f(- )=(- ) +2×(- )= -3=- . 2 2 2 2 4 4 (2)当 a≤-2 时,a+1=3,即 a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2 时,a +2a=3, 即 a +2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得 a=1,或 a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1 符合题意. 当 a≥2 时,2a-1=3,即 a=2 符合题意. 综上可得,当 f(a)=3 时,a=1,或 a=2. (3)∵m≥2,∴f(m)=2m-1, 即 2m-1>3m-5, 解得 m<4, 又 m≥2,∴m 的取值范围为[2,4).
2 2

一、选择题 1.已知集合 M={x|0≤x≤9},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中,不能看作从 M 到

4

P 的映射的是 导学号 22840292 (
1 A.f:x→y= x 3 C.f:x→y=x [答案] C

) 1 B.f:x→y= x 6 1 D.f:x→y= x 9

[解析] 首先对于四个对应关系, 给一个 x 值都有唯一的 y 值对应, 但需考查 y 值是否 1 在集合 P 中,对于 A,由 0≤x≤9 得 x∈[0,3]? P,所以 A 是映射. 3 同理 B,D 都是映射,对于 C,显然 y=x∈[0,9] P,所以 C 不是映射,故选 C. 2.某市出租车起步价为 5 元(起步价内行驶里程为 3 km),以后每 1 km 价为 1.8 元(不 足 1 km 按 1 km 计价),则乘坐出租车的费用 y(元)与行驶的里程 x(km)之间的函数图象大致 为下列图中的 导学号 22840293 ( )

[答案] B
? ?5?0<x≤3? 由已知得 y=? ?5+[x-3]×1.8?x>3? ?

[解析]

5 ?0<x≤3? ? ? =?6.8 ?3<x<4? ? ?8.6 ?4≤x<5?
2

.故选 B.

3.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应为 f:x→y=x -2x+2,若对实数 k∈B, 在集合中没有元素对应,则 k 的取值范围是 导学号 22840294 ( A.(-∞,1] C.(1,+∞) [答案] B [解析] 设 k=x -2x+2 即 x -2x+2-k=0, k 没有元素对应即上述方程无解 Δ <0,
5
2 2

)

B.(-∞,1) D.[1,+∞)

(-2) -4(2-k)<0,∴k<1 故选 B.
?x ,x≥0, ? 4.若函数 f(x)=? ?x,x<0, ?
2

2

?x,x≥0, ? φ (x)=? 2 ?-x ,x<0, ?

则当 x<0 时,f[φ (x)]为

导学号 22840295 ( A.-x C.x [答案] B

) B.-x D.x
2 2

[解析] x<0 时,φ (x)=-x <0,∴f(φ (x))=-x . 二、填空题 5 . 已 知

2

2

f(x) = ?

?1,x≥0, ? ? ?0,x<0,

则 不 等 式

xf(x) + x≤2

的 解 集 是

________. 导学号 22840296 [答案] {x|x≤1} [解析] 当 x≥0 时,f(x)=1,由 xf(x)+x≤2,知 x≤1,∴0≤x≤1; 当 x<0 时,f(x)=0,∴x<0. 综上,不等式的解集为{x|x≤1}.
? ?x +bx+c,x≤0, 6.设函数 f(x)=? ?2,x>0, ?
2

若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的

方程 f(x)=x 的解的个数是________. 导学号 22840297 [答案] 3 [解析] 由 f(-4)=f(0)? (-4) +b×(-4)+c=c,
2

f(-2)=-2? (-2)2+b×(-2)+c=-2,
? ?x +4x+2,x≤0, 则 f(x)=? ?2,x>0. ?
2

由 f(x)=x,得 x +4x+2=x? x +3x+2=0? x=-2 或 x=-1,即当 x≤0 时,有两 个实数解;当 x>0 时,有一个实数解 x=2.综上,f(x)=x 有 3 个实数解. 三、解答题 |x|-x 7.已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 导学号 22840298 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

2

2

6

[解析] (1)当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ 当-2<x<0 时,f(x)=1+

x-x
2

= 1;

-x-x =1-x, 2

? ?1,0≤x≤2, ∴f(x)=? ?1-x,-2<x<0. ?

(2)函数 f(x)的图象如图所示:

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 8.如图所示,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长为 2 2 cm, 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左向右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯 形分成两部分, 令 BF=x, 试写出左侧部分的面积 y 关于 x 的函数解析式. 导学号 22840299

[解析] 如图所示,过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H.

因为四边形 ABCD 是等腰梯形, 底角为 45°,AB=2 2cm, 所以 BG=AG=DH=HC=2 cm. 又 BC=7 cm,所以 AD=GH=3 cm. 1 2 当点 F 在 BG 上时,即 x∈(0,2]时,y= x ; 2 当点 F 在 GH 上时,即 x∈(2,5]时,

y= ×2×2+2(x-2)=2x-2;
当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时,

1 2

y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRt△CEF= (7+3)×2- (7-x)2=- (x-7)2+10.

1 2

1 2

1 2

7

x ,x∈?0,2], 2 ? ? 综上,y=?2x-2,x∈?2,5], 1 ? ?-2?x-7? +10,x∈?5,7].
1
2 2

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