《推荐》2016年秋高中数学人教A版选修2-2精品课件3.1.1数系的扩充和复数的概念_图文

3.1.1数系的扩充和复数的概念

知识回顾
数的概念是从实践中产生 和发展起来的。随着生产和 科学的发展,数的概念也不 断的被扩大充实
从小学到现在,大家都依次学过哪些数集呢?
自然数集 整数集 有理数集 实数集

我们可以用下面一组方程来形象的说明

数系的发展变化过程:

(1)在自然数集中求方程 x+1=0的解?

(2)在整数集中求方程 2x-1=0的解?

N

(3)在有理数集中求方程 x2-2=0的解? Q Z

R

(4)在实数集中求方程 x2+1=0的解?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

知识引入
我们已经知道:
对于一元二次方程 x2 ?1 ? 0 没有实数根.

思考?

x2 ? ?1

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数 集中,该问题能得到圆满解决呢?

i i ? ?1 引入一个新数:

满足

2

现在我们就引入这样一个数 i ,并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C表示 .

讲解新课

1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R,b ? R)
i 其中 称为虚数单位。
实部 虚部

练一
练 说出下列复数的实部和虚部

0,

2, 2

-2+ 1 3

i

,

2 ? i , ? 3i , i

2.复数的分类:

? 实数 b ? 0

复数z ? a ? bi (a,b ? R)

?

?

? ?

虚数

?纯虚数 a ? 0,b ? 0 b?0?
?非纯虚数 a ? 0,b ? 0

R ??C

复数集 虚数集
实数集 纯虚数集

讨论?
复数集C和实数集R之间有什么关系?

自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

3.规定:如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等.

若a,b, c, d ? R,

?a ? c

a ? bi ? c ? di ???b ? d

注:

2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相
等,而不能比较大小.

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部.

2 ? 7, 0.618,

2 i, 0

7

? ? i 2 , i 1? 3 , 3 ? 9 2i, 5i ? 8

2、判断下列命题是否正确: (1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 (3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数

例题讲解
例1.实数 m 取什么数值时,复数z=m +1+(m-1)i是:
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?

解:复数z=m+1+(m-1)i 中,因为m∈R,所以m+1, m-1都是实数,它们分别是z的实部和虚部,
∴(1)m=1时,z是实数;

(2)m≠1时,z是虚数;

(3)当

?m ??m

?1 ?1

? ?

0 0

时,即m=-1时,z是纯虚数;

练习:当m为何实数时,复数
Z ? m 2 ? m ? 2 ? (m 2 ? 1)i
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

例2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x, y∈R,求x, y.

解:根据复数相等的意义,两个复数相等则实部等于实部 ,

虚部等于虚部,得方程组,

? 2x ?1? y ??1 ? ?(3 ? y)

解得 x=

5
,

y =4.

2

练习:
当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) i=0,
求x的值.

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式:z ? a ? bi (a ? R,b ? R)
复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数

复数相等

a ? bi

?

c?

di ?

?a ? c ??b ? d

机动题
复数z ? (m2 ? 2m ? m2i) ?[(m ? 6)i ? 8]
1.指出复数z的实部和虚部; 2.实数m为何值时, (1)实数? (2)虚数? (3)零? (4)纯虚数? (5)负数?


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