【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题

2018 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(理工类) 第I卷 (选择题, 共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.设集合 A ? {x | 2x ? 4} ,集合 B ? {x | y ? lg ? x ?1?} ,则 A ? B ? A. 1, 2 ? ? B. ?1, 2 ? C. ?2, ??? D. 1, ?? ? ? 2 .下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0,1? 内单调递减的是 A. y ? x2 B. y ? cosx C. y ? 2x D. y ? ln x 3.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a3 ? a11 ? 18, S3 ? ?3 ,那么 a5 等于 A. 4 B. 5 C. 9 D. 18 4.已知 OA ? cos15? , sin15? , OB ? cos75? , sin 75? ,则 AB ? A. 2 5. 过原点且倾斜角为 A. B. ? ? ? ? 3 C. 2 D. 1 ? 2 2 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 3 B. 2 C. 3 6 D. 2 3 6.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列条件, 其中能够推出 l ∥ m 的是 A. l ∥ ? , m ⊥ ? , ? ⊥ ? C. l ∥ ? , m ∥ ? , ? ∥ ? B. l ⊥ ? , m ⊥ ? , ? ∥ ? D. l ∥ ? , m ∥ ? , ? ⊥ ? 7. 函数 y ? loga ? x ? 3? ?1 ( a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 m ? 0, n ? 0 ,则 mn 的最大值为 A. 1 16 B. 1 8 C. 1 4 D. 1 2 8. 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S n ? 2an ? 3 ,则 S n ? A. 2 ? 1 n B. 2 n ?1 ?1 C. 3 ? 2 ? 3 n D. 3 ? 2 ? 1 n 9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则 该几何体的体积为 A. 4 C. B. 2 D. 4 3 2 3 10. 千年潮未落,风起再扬帆,为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦 奠定坚实基础,哈三中积极响应国家号召,不断加大拔尖人才的培养力度,据不完全统计: 年 份(届) 学科竞赛获省级一等奖 及以上学生人数 x 被清华、 北大等世界名校 录取的学生人数 y 103 96 108 107 2014 2015 2016 2017 51 49 55 57 ? 为 1.35,我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y 及以上学生人数为 63 人,据此模型预报我校今年被清华、北大等世 界名校录取的学生人数为 A. 111 B. 117 C . 118 D. 123 11.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 右支上一点, a 2 b2 直线 PF1 与圆 x2 ? y 2 ? a 2 相切,且 PF2 ? F1 F2 ,则双曲线 C 的离心率为 A. 10 3 B. 4 3 C. 5 3 D. 2 2 12. 设函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx ,若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,则实数 a 的取值 范围是 A. ? ? ?, ? ? ? 1? 2? B. ?? ?, 1? C. ?1 , ? ?? D. ? , ? ?? ?2 ? ?1 ? 2018 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(理工类) 第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.已知正方形 ABCD 边长为 2, M 是 CD 的中点,则 AM ? BD = . ?y ? 1 ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?y ? x ?1 ? 2 . 15.直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交于不同两点 A、B ,若 M ( x0 ,4) 是 AB 中点,则直线 l 的 斜率 k ? . 16.已知锐角 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于钝角 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值, 其中 A2 ? ? 2 ,若 B2C2 ? 1,则 2 2 A2 B2 ? 3 A2 C2 的最大值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x . (1)当 x ? ?0, ? ?? 时,求 f ( x ) 的值域; ? 3? ? [来源:学科网] A 3 (2)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, f ( ) ? , a ? 4, b ? c ? 5 , 2 2 求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校 200 名高三学生平均每天课 外体育锻炼时间进行调查,如表: (平均每天锻炼的时间单位:分钟) 平均每天锻炼 的时间/分钟 总人数 ?0,10? 20 ?10,2

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