最新精编高中高考数学一轮复习7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题公开课优质课教学设计

7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 典例精析[] 题型一 平面区域 【例 1】已知函 f(x)的定义域为[-2,+∞),且 f(4)=f(-2)=1,f′(x)为 f(x)的导 ?a ? 0, ? ?b ? 0, ? f ( 2a ? b) ? 1 ? 函,函 y=f′(x)的图象如图所示,则平面区域 围成的面积是( A.2 ) B.4 C.5 所 D.8 【解析】选 B.由 f′(x)的图象可知,f(x)在[-2,0]上是减函,在[0,+∞)上是增函. 因为 f(-2)=f(4)=1,所以当且仅当 x∈(-2,4)时,有 f(x)<f(-2)=f(4)=1.[] 作出可行域如图所示,其围成的图形面积为 4.[] 【点拨】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集,因 而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ? x ? 0, ? ? y ? 0, ?x ? y ? 1 ? 【变式训练 1】若 a≥0,b≥0,且当 时,恒有 ax+by≤1,则以 a,b 为 ) 坐标的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积是( A. 1 2 π B. 4 C.1 D. π 2 【解析】选 C.当 a=b=1 时,满足 x+y≤1,且可知 0≤a≤1,0≤b≤1,所以点 P(a,b)所形成的平面区域为边长为 1 的正方形,所以面积为 1.本题关键是确定点 所形成的区域形状. 题型二 利用线性规划求最值 (1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; (3)z= 2y+1 的取值范围. x +1 【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3),B(3,1), C(7,9). ( 1)易知直线 x+2y-4=z 过点 C 时,z 最大. 所以 x=7,y=9 时,z 取最大值 21. (2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方, 过点 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, |0-5+2| 9 故 z 的最小值是( )2= . 2 2 1 y-(- ) 2 1 (3)z=2· 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q(-1,- )连线斜率的 2 倍. x-(-1) 2 7 3 3 7 因为 kQA= ,kQB= ,所以 z 的取值范围为[ , ]. 4 8 4 2 【点拨】线性目标函的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得,充 分解目标函赋予的几何意义是本例的关键. 1 【变式训练 2】已知函 f(x)= x3+ax2-bx+1(a,b ∈R)在区间[-1,3]上是减函, 3 求 a +b 的最小值. 【解析】因为 f′(x)=x2+2ax-b,f(x)在区间[-1,3]上是减 函. 所以 f′( x)≤0 在[-1,3]上恒成立 .则 作出点(a,b)表示的平面区域. 令 z=a+b,求出直线-2a-b+1=0 与 6a-b+9=0 的交点 A 的坐标为(-1,3). 当直线 z=a +b 过点 A(-1,3)时,z=a+b 取最小值 2. 题型三 线性规划的实际应用 【例 3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72 m3, 第二种有 56 m3.假设生产每种产品都 需要用两种木料, 生产一张圆桌需要用第一 种木料 0.18 m3,第二种木料 0.08m3,可获利润 6 元,生产一个衣柜需要用第一 种木料 0.09 m3,第二种木料 0.28 m3,可获利润 10 元.木器厂在现有木料条件下, 圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大?最大利润是多少? 【解析】 设圆桌生产的张为 x, 衣柜生产的个为 y, 所获利润为 z, 则 z=6x+10y, [] 当直线 l:6x+10y=0 平移到经过点 M(350,100)时,z=6x+10y 最大. zmax=6×350+10×100=3 100, 所以生产圆桌 350 张,衣柜 100 个可获得最大利润 3 100 元. 【点拨】解实际线性规划问题,首先设出变量,建立不等式模型 表示出约束条 件,一定要注意问题的实际意义(如本题中 x≥0,y≥0),然后画出可行域,利用 图形求解. 【变式训练 3】某实验室需购某种工原料至少 106 千克,现在市场上该原料有两 种包装: 一种是每袋 35 千克, 价格为 140 元; 另一种是每袋 24 千克, 价格为 120 元.在满足需要的条件下,最少要花费 元. 【解析】500.设需 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋,则目标函 z=140x+120y,约 ?35x ? 24 y ? 106, ? ? x, y ? N 束条件为 =500. 总结提高 71 当 x=1 时,y≥ ,即 y=3,这时 zmin=140+120×3 24 1.用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知,找出约束条件和目标函是关 键. 2.可行域是二元一次不 等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形, 亦可是一侧开放的无限大的平面区域. 3.若可行域是一个多边形,那么一般在顶点处,使目标函值取得最值,最优解一 般是多边形的某个顶点. 4.实际问题的最优解要求是整解时,这时要对最优解(非整解)进行适 当调整,其 方法是在边界直线的附近寻求与目标函直线距离最近的整点, 而不要在最优解的 附近寻找.[]

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