高中数学 圆锥曲线的统一定义 苏教版


圆锥曲线的统一定义 复习回顾 1、 椭圆的定义: 表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹 2 、双曲线的定义: 平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 演示图 3、抛物线的定义: 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离) 在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子 a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2 c 将其变形为 ? 2 a a ?x c 你能解释这个式子的几何意义吗? 例1 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹. c a y P · F l O x 解 :根据题意可得 化简得 2 (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? c) 2 ? y 2 c ? 2 a a | ?x| c 椭圆的 令a ? c ? b , 上式就可化为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 标准方程 所以点P的轨迹是焦点为(?c, 0), (c, 0), 长轴、短轴分别为2a、 2b的椭圆。这个 椭圆的离心率e就是P到定点F的距离 和它到直线 ( l F 不在l上)的距离的比。 若(a>c>0)变为(c>a>0)呢? 当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (c>a>0)时,这个 c a 2 2 x y 点的轨迹是双曲线,方程为 2 - 2 =1(其中b2 a b =c2 -a2 ),这个常数就是双曲线的离心率. 这样,圆锥曲线可以统一定义为: 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上) 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线. 几条呢? 根据图形的对称性可知,椭圆 和双曲线都有两条准线. 对于中心在原点,焦点在x轴上的椭 a2 圆或双曲线, 与F1 (?c, 0)对应的准线方程为x ? ? c a2 与F2 (c, 0)对应的准线方程为x ? c y x 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)和双曲线 a b y x ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的准线方程是什么 ? 2 2 a b 2 2 2 2 标准方程 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0) 图形 焦点坐标 准线方程 a2 x?? c a2 y?? c a2 x?? c ( ? c, 0) (0, ? c) ( ? c, 0) y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0) x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) (0, ? c) a2 y?? c 图形 标准方程 焦点坐

相关文档

高中数学课件——圆锥曲线的统一定义课件 苏教版
高中数学苏教版选修2-1学案:2.5 圆锥曲线的统一定义含解析
苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练:2.5 圆锥曲线的统一定义含答案
电脑版