高中数学 圆锥曲线的统一定义 苏教版_图文

圆锥曲线的统一定义 复习回顾 1、 椭圆的定义: 表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹 2 、双曲线的定义: 平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹 表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 演示图 3、抛物线的定义: 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离) 在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子 a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2 c 将其变形为 ? 2 a a ?x c 你能解释这个式子的几何意义吗? 例1 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点P的轨迹. c a y P · F l O x 解 :根据题意可得 化简得 2 (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? c) 2 ? y 2 c ? 2 a a | ?x| c 椭圆的 令a ? c ? b , 上式就可化为 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 标准方程 所以点P的轨迹是焦点为(?c, 0), (c, 0), 长轴、短轴分别为2a、 2b的椭圆。这个 椭圆的离心率e就是P到定点F的距离 和它到直线 ( l F 不在l上)的距离的比。 若(a>c>0)变为(c>a>0)呢? 当点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 a2 c 线l:x= 的距离的比是常数 (c>a>0)时,这个 c a 2 2 x y 点的轨迹是双曲线,方程为 2 - 2 =1(其中b2 a b =c2 -a2 ),这个常数就是双曲线的离心率. 这样,圆锥曲线可以统一定义为: 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上) 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率, 定点F是圆锥曲线的焦点, 定直线l是圆锥曲线的准线. 几条呢? 根据图形的对称性可知,椭圆 和双曲线都有两条准线. 对于中心在原点,焦点在x轴上的椭 a2 圆或双曲线, 与F1 (?c, 0)对应的准线方程为x ? ? c a2 与F2 (c, 0)对应的准线方程为x ? c y x 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)和双曲线 a b y x ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的准线方程是什么 ? 2 2 a b 2 2 2 2 标准方程 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0) 图形 焦点坐标 准线方程 a2 x?? c a2 y?? c a2 x?? c ( ? c, 0) (0, ? c) ( ? c, 0) y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0) x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) (0, ? c) a2 y?? c 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 l l l l p x?? ( p ? 0) 2 2 p p y ? ?2 px ( ? ,0) x ? ( p ? 0) 2 2 x 2 ? 2 py p p y?? ( 0, ) ( p ? 0) 2 2 y 2 ? 2 px p ( ,0 ) 2 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) p (0, ? ) 2 p y? 2 练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) x2 ? 2 y 2 ? 4 (2)2 x2 ? 4 y 2 ? 1 (3) x ? 2 y ? 1 2 2 (? 2,0) x ? ?2 2 x ? ?1 6 x?? 3 6 y?? 3 1 y ? 4 1 (? , 0) 2 6 (? , 0) 2 (4)2 y 2 ? x2 ? 4 (0, ? 6) 1 (0, ? ) 4 1 ( , 0) 2 (5) x2 ? y ? 0 (6) y 2 ? 2 x ? 0 1 x?? 2 例2 的距离. 已知双曲线 x2 y2 ? ?1 64 36 上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线 法一:由已知可得a=8,b=6,c=10. 因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点, 设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离 为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16, 所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得 | PF2 | ?e d 1 所以d= |PF2|=24 e 例2 已知双曲线 x2 y2 ? ?1 64 36 上一点P到左焦点 的距离为14,求P点到右准线的距离. 2a 2 分析 : 两准线间距离为 c 法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a ? 8, b ? 6, c ? 10,? ? e ? ? d a 4 4 56 2a 2 2 ? 64 64 ? d ? 14 ? ? 又 ? ? 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 ? P到右准线的距离为 ?d ? ? ? 24 c 5 5 练一练 1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线 x ? ?4 1 2 2. 中心在原点,准线方程为 x ? ?4 ,离心率为 的椭圆方程是 x2 y2 ? ?1 4

相关文档

苏教版高中数学选修1-12.5圆锥曲线的统一定义
高中数学苏教版选修2-1学案:2.5 圆锥曲线的统一定义含解析
高中数学 圆锥曲线的统一定义教案 苏教版选修1-1
苏教版高中数学(选修2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》之一
电脑版