【K12教育学习资料】高中数学第一章三角函数1.4.11.4.2单位圆与周期性学案北师大版必修4

教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 §4 4.1 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性 1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用.(重点) 2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.(重点) 3.理解周期函数的定义.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 正、余弦函数 阅读教材 P13~P15“例 1”以上部分,完成下列问题. 任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆. (2)如图 1-4-1 所示, 设 α 是任意角, 其顶点与原点重合, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆 O 交于点 P(u,v),那么: 图 1-4-1 正弦函数 定义 点 P 的纵坐标 v 定义为角 α 的 正弦函数,记作 v=sin_α 余弦函数 点 P 的横坐标 u 定义为角 α 的 余弦函数,记作 u=cos_α 通常表示法 y=sin x 定义域为全体实数, 值域为[-1,1] y=cos x 定义域为全体实数, 值域为[-1,1] 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 在各象限 的符号 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角.( ) ) ) (2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制,而不用角度制.( (3)角 α 确定,则角 α 的正弦、余弦函数值与点 P 在终边上的位置无关.( (4)若 sin α <0,则 α 为第三或第四象限角.( ) 【解析】 根据三角函数的定义,知(1)正确,(3)正确;尽管在正弦函数、余弦函数的 定义中,角 α 的值既可以用角度制,又可以用弧度制来表示,若用角度制表示时,如 30° π π +sin 30°就无法进行运算,改用弧度制时, +sin 就可以运算了,即自变量的单位与 6 6 函数值的单位都用十进制数统一了,因而(2)正确;若 sin α <0,α 的终边也可能落在 y 轴的负半轴上,因而(4)错. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 教材整理 2 周期函数 阅读教材 P16~P17 练习以上部分,完成下列问题. 1.终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系. (1)终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(x+k·2π )=sin_x(k∈Z). (2)终边相同的角的余弦函数值相等,即 cos(x+k·2π )=cos_x(k∈Z). 2.一般地,对于函数 f(x),如果存在非零实数 T,对定义域内的任意一个 x 值,都有 f(x+T)=f(x),则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期. 3.特别地,正弦函数、余弦函数是周期函数,称 2kπ (k∈Z,k≠0)是正弦函数、余弦 函数的周期,其中 2π 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正周期. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)2kπ (k∈Z)是正弦、余弦函数的周期.( 2 ) 2 (2)f(x)=x 满足 f(-3+6)=f(-3),故 f(x)=x 为周期函数.( ) ) π ?π π ? ?π ? (3)对正弦函数 f(x)=sin x 有 f? + ?=f? ?,所以 是 f(x)的周期.( 4 2 4 2 ? ? ? ? 【解析】 (1)错误.k∈Z 且 k≠0 时,2kπ 是正弦、余弦函数的周期. 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 (2)错误.因为 f(-2+6)≠f(-2). π? ? (3)错误.f?π + ?≠f(π )不满足任意性. 2? ? 【答案】 (1)× (2)× (3)× [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小组合作型] 正弦、余弦函数的定义 已知 θ 的终边经过点 P(a,a),a≠0,求 sin θ ,cos θ . 【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求 sin θ ,cos θ . 【自主解答】 当 a>0 时,r= a +a = 2a,得 sin θ = 2 . 2 当 a<0 时,r= a +a =- 2a,得 sin θ = = - 2a - 2 a 2 ,cos θ = =- . 2 2 - 2a 2 2 2 2 a 2a = 2 a ,cos θ = = 2 2a a 利用三角函数的定义求值的策略 1.求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及 其到原点的距离. 2.若终边在直线上时,因为角的终边是射线,应分两种情况处理. 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 3 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 3.若已知角,则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标. [再练一题] 1.已知角 α 的终边在直线 y=2x 上,求角 α 的正弦值和余弦值. 【导学号:66470006】 【解】 设直线上任意一

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