2018届高三数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理夯基提能作业本理


第五节

定积分与微积分基本定理
A 组 基础题组

1.定积分

的值为(

)

A.e+1

B.e

C.e-

D.e+

2.若 f(x)= A.0 B.1 C.2 D.3



=(

)

3.(2014 江西,8,5 分)若 f(x)=x +2

2

(

)

A.-1

B.- C.

D.1
2

4.以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到最高时的高度为(

)

A.

m

B.

m

C.

m

D.

m

5.若函数 f(x)=x- ,则

f(x)dx=

.

6.设函数 f(x)=(x-1)x(x+1),则满足

f '(x)dx=0(a>0)的实数 a=

.
2

7.汽车以 72 km/h 的速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速度 a=4 m/s 刹车,则汽车从开始 刹车到停止行驶的路程为 m.

8.已知 f(x)在 R 上可导, f(x)=x +2f '(2)x+3,试求

2

f(x)dx 的值.

9.求曲线 y=x ,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积.

2

1

B 组 提升题组

10.已知函数 f(x)=



=(

)

A.

B.

C.

D.

11.(2014 湖北,6,5 分)若函数 f(x),g(x)满足 正交函数.给出三组函数:

f(x)·g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组

①f(x)=sin x,g(x)=cos x; ②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x . 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组 数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )
2

12.

dx=

.
2 2

13.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x 向点 A(2,4)移动,直线 OP 与曲线 y=x 围成图形的面积为 S1,直线 OP 与曲线 y=x 及直线 x=2 围成图形的面积为 S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为
2

.

14.如图,已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,直线 l1:x=2,直线 l2:y=-t +8t(其中 0≤t≤2,t 为常数). (1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影部分的面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.

2

2

2

3

答案全解全析 A 组 基础题组

1.D

=

= +e-1= +e.

2.C

=0+2x

=2.

3.B 令

4.A

令 v=40-10t =0,得 t =4,t=2.所以所求高度 h=

2

2

=

=80- =

(m).

5. 答案

e-

2

解析 6. 答案 1

dx=

= e- .

2

解析

f '(x)dx=f(a)=0,故 a=0 或 1 或-1,又 a>0,故 a=1.

7. 答案 50 解析 当时间 t=0 s 时,速度 v0=72 km/h=20 m/s,刹车后,汽车减速行驶,速度(单位:m/s)为 v(t)=v0-at=20-4t. 令 v(t)=0,可得 t=5 s,所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:

(20-4t)dt=(20t-2t )
2

2

=50(m).即汽车从开始刹车到停止,共行驶了 50 m.

8. 解析 ∵f(x)=x +2f '(2)x+3,∴f '(x)=2x+2f '(2),∴f '(2)=4+2f '(2),∴f '(2)=-4,∴f(x)=x -8x+3.
2



f(x)dx=

=-18.

9. 解析

4

作出曲线 y=x ,直线 y=x,y=3x,如图所示,所求面积为图中阴影部分的面积.

2

解方程组

可知交点 A 的横坐 标为 1,

解方程组

可知交点 B 的横坐标为 3,

因此,所求图形的面积为

S=

(3x-x)dx+

(3x-x )dx

2

=

2xdx+

(3x-x )dx

2

=x

2

+

=1+

-

= . B 组 提升题组 10.B

11.C 由①得 f(x)g(x)=sin xcos x= sin x,是奇函数,所以

f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的

一组正交函数;由②得 f(x)g(x)=x -1,所以

2

f(x)g(x)dx=

=

=- ,所以②不是区间
5

[-1,1]上的一组正交函数;由③得 f(x)g(x)=x ,是奇函数,所以 的一组正交函数.故选 C.

3

f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上

12. 答案

解析

表示四分之一单位圆的面积,为 ,所

以结果是

.

13. 答案

解析 设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),点 P 的坐标为(x,y),由题意,令

(kx -x )dx=

2

(x -kx)dx,

2



=

,

即 kx - x = -2k-

2

3

,

解得 k= ,此时直线 OP 的方程为 y= x, 易知满足条件的点 P 的坐标为

.

14. 解析 (1)由题图可知二次函数的图象 过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16,则

解得 (2)由(1)知函数 f(x)的解析式为 f(x)=-x +8x.
2



消去 y,得 x -8x-t(t-8)=0,

2

解得 x=t,或 x=8-t(舍).

6

由定积分的几何意义知

S(t)=

[(-t +8t)-(-x +8x)]dx+

2

2

[(-x +8x)-(-t +8t)]dx=

2

2

+

=- t +10t -16t+ .

3

2

7


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