2014《创新设计》二轮专题复习常考问题17_图文

常考问题17 计数原理、随机变量 及其分布列

知识与方法

热点与突破

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

1.两种计数原理 分类计数原理和分步计数原理. 2.排列 (1)排列的定义;(2)排列数公式:Am n =n(n-1)(n-2)? n! (n-m+1)= (m≤n,m,n∈N*). ?n-m?!

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3.组合 (1)组合的定义; (2) 组 合 数 公 式 : C
m n

n?n-1??n-2???n-m+1? = = m!

n! (m≤n,m,n∈N*). m!?n-m?!
n -m m m-1 m (3)组合数性质:Cm = C ; C + C = C n n n n n+1.

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4.概率、随机变量及其分布

(1)离散型随机变量及其概率分布的表示:
①离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量 叫做离散型随机变量; ②离散型随机变量概率分布的表示法:概率分布列和概 率分布表;

性质:1°pi≥0(i=1,2,3,?,n);2°p1+p2+p3+?
+pn=1; (2)特殊的概率分布列:①0-1分布(两点分布)符号表示: X~0-1分布;
知识与方法 热点与突破

②超几何分布:1° 符号表示:X~H(n,M,N);
r n r C MCN-M ° 2 概率分布列:X~H(r;n,M,N)=P(X=r)= CM ;


N

③二项分布(又叫独立重复试验,波努利试验):1° 符号表示:
k n k X~B(n,p);2° 概率分布列:P(X=k)=Ck p (1 - p ) . n


注意:P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+?+P(X=r)+? +P(X=n)=1.

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热点一 与计数原理有关的问题 【例 1】 (2011· 江苏卷)设整数 n≥4,P(a,b)是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a,b∈{1,2,3,?,n},a>b. (1)记 An 为满足 a-b=3 的点 P 的个数,求 An; 1 (2)记 Bn 为满足3(a-b)是整数的点 P 的个数,求 Bn.

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解 (1)点 P 的坐标满足条件 1≤b=a-3≤n-3,所以 An=n-3. (2)设 k 为正整数, 记 fn(k)为满足条件以及 a-b=3k 的点 P 的个数, 只要讨论 fn(k)≥1 的情形. n-1 由 1≤b=a-3k≤n-3k 知 fn(k)=n-3k,且 k≤ 3 , 设 n-1=3m+r,其中 m∈N*,r∈{0,1,2},则 k≤m, 3m?m+1? m?2n-3m-3? 所以 Bn=∑ = , k=1fn(k)=∑ k=1(n-3k)=mn- 2 2
m m

n-1-r ?n-1??n-2? r?r-1? 将 m= 3 代入上式,化简得 Bn= - 6 , 6 ? ?n?n-3?,n是整数, 3 ? 6 所以 Bn=? ??n-1??n-2? n , 不是整数. ? 6 3 ?
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 此计数原理问题中要计算点的个数,因此要根据

条件对正整数的取值进行分类,弄清可能的取值类别,再根
据加法原理进行计算.

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【 训练 1】 (2012· 江苏卷 ) 设 集合 Pn = {1,2 ,?, n} , n∈N*.

记 f(n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:① A?Pn ;
②若x∈A,则2x?A;③若x∈?PnA,则2x??PnA. (1)求f(4); (2)求f(n)的解析式(用n表示).

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(1) 当n=4时,符合条件的集合 A为: {2}, {1,4} , {2,3} ,

{1,3,4},故f(4)=4.
(2)任取偶数x∈Pn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,?, 经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是 x=m·2k, 其中m为奇数,k∈N*. 由条件知,若m∈A,则x∈A?k为偶数;

若m?A,则x∈A?k为奇数.

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于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定.设 Qn 是 Pn 中所有奇数 的集合,因此 f(n)等于 Qn 的子集个数.当 n 为偶数(或奇数)时,
? n? ? n+1? Pn 中奇数的个数是2?或 , 2 ? ? ?

? n ?22,n为偶数, 所以 f(n)=? ?2n+1,n为奇数. ? 2

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热点二 概率、相互独立事件和独立重复实验 【例2】 (2012·南通模拟)某品牌设计了编号依次为1,2,3,?, n(n≥4,且n∈N*)的n种不同款式的时装,由甲、乙两位模

特分别独立地从中随机选择 i , j(0≤i , j≤n ,且 i , j∈N) 种
款式用来拍摄广告. (1) 若i =j=2 ,且甲在1到 m(m为给定的正整数,且2≤m≤n - 2) 号中选择,乙在 (m+ 1) 到 n 号中选择.记 Pst(1≤s≤m, m+1≤t≤n)为款式(编号)s和t同时被选中的概率,求所有的

Pst的和;
(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.
知识与方法 热点与突破



(1)甲从 1 到 m(m 为给定的正整数,且 2≤m≤n-2)号中任选

两款,乙从(m+1)到 n 号中任选两款的所有等可能基本事件的种
2 数为 C2 C m n-m,

记“款式 s 和 t(1≤s≤m,m+1≤t≤n)同时被选中”为事件 A,则
1 1 1 事件 A 包含的基本事件的种数为 C1 C · C - 1 m 1 1Cn-?m+1?, 1 1 1 C1 C1 Cn-?m+1? 4 1Cm-1· 所以 P(A)=Pst= = , 2 C2 C m ? n - m ? m n -m

则所有的

1 Pst 的和为:C1 mCn-m·

4 =4; m?n-m?

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(2)甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为:
1 2 n n C0 + C + C +?+ C = 2 , n n n n

同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2n, 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为: 2n· 2n=4n, 记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 B,则事件 B 的 对应事件 B 为: “没有一个款式为甲和乙共同认可”, 而事件 B 包 含的基本事件种数为:

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0 1 2 n 1 0 1 2 n-1 C0 · (C + C + C +?+ C ) + C · (C + C + C +?+ C - - - n n n n n n n 1 n 1 n 1 n-1)+?
-1 0 1 +Cn (C1 +C1 )+Cn (C0 n · n· 0)

n 1 n-1 n-1 n 0 =C0 · 2 + C · 2 +?+ C · 2 + C 2 n n n n·

=(1+2)n=3n, 所以
?3? P(B)=1-P( B )=1-?4?n. ? ?

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[规律方法] 对于求较复杂事件的概率问题,可以将所求事件

转化成彼此互斥的事件的和,或者先求对立事件的概率,再
用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求 事件的概率.

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2 3 【训练 2】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 . 3 4 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射 击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目 标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击.求乙恰好 射击 5 次后被中止射击的概率.

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解 (1)甲至少一次未击中目标的概率 P1 是 P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)
?2? ?1? 65 4 0 ? ? ? ? =1-P4(0)=1- 3 3 = . 81 ? ? ? ?

(2)甲射击 4 次恰击中 2 次的概率为
2 2 2 1 2 P2=C4? ? ? ? =

? ? ? ? ?3? ?3?

8 , 27 1 27 3 3 3 ? ? P3=C4 × = ,
?4? ? ?

乙射击 4 次恰击中 3 次的概率为

4 64

8 27 1 由乘法公式得,所求概率为 P=P2P3=27×64=8.
知识与方法 热点与突破

(3)乙恰好 5 次停止射击,则最后两次未击中,前三次或都击中或 第一与第二次恰有一次击中,第三次必击中,故所求概率为
?3? ?1? ? ? ? ? 45 3 2 1 3 2 1 3 P=?4? ?4? +C2?4? ?4? =1 024. ? ? ? ? ? ? ? ?

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热点三 离散型随机变量分布列及其数学期望
【例3】 (2013·陕西卷)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌 手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手,其中观众 甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中 随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1至5号中选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分 布列及数学期望.
知识与方法 热点与突破

解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观
1 2 C2 2 C4 3 众乙选中 3 号歌手”,则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= .∵事件 A 与 C3 3 C5 5

B 相互独立,∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的 2 2 4 概率为 P(A B )=P(A)· P( B )=P(A)· [1-P(B)]=3×5=15,
3 C1 · C 4 2 4 (或 P(A B )=C2· ). 3= C 15 3 5

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2 C4 3 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”,则 P(C)=C3=5. 5

∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 1 2 2 4 P(X=0)=P( A B C )= × × = , 3 5 5 75 P(X=1)=P(A B C )+P( A B C )+P( A B C) 2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 4 =3×5×5+3×5×5+3×5×5=75=15, P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 11 =3×5×5+3×5×5+3×5×5=75=25, 2 3 3 18 6 P(X=3)=P(ABC)=3×5×5=75=25,
知识与方法 热点与突破

∴X 的分布列为 X P 0 1 2 3

4 4 11 6 75 15 25 25

4 4 11 6 140 28 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = = . 75 15 15 25 75 15

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[规律方法] 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:

先根据随机变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后
根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率,列出分 布列,根据数学期望和方差的公式计算.

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【训练 3】 (2013· 辽宁卷)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙 类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同 3 学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 5 4 且各题答对与否相互独立. 用 X 表示张同学答对题的个数, 5, 求 X 的分布列和数学期望.

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(1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”, 则

有 A =“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C3 1 5 6 因为 P( A )=C3 =6,所以 P(A)=1-P( A )=6. 10 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.
0 3 0 2 21 ? ? · ? ? ·= P(X=0)=C2·

? ? ? ? ?5? ?5? ? ? ? ? ?5? ?5?

5 5

4 125;
? ? ? ? ?5? ?5?

1 3 1 2 11 0 3 0 2 24 ? ? · ? ? ·+C2? ? · ? ? ·= P(X=1)=C2·

5

28 ; 125

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2 3 2 2 01 1 3 1 2 14 ? ? · ? ? ·+C2? ? · ? ? ·= P(X=2)=C2·

? ? ? ? ?5? ?5? ? ? ? ?

? ? ? ?

5

57 ; ?5? ?5? 5 125

2 3 2 2 04 ? ? · ? ? ·= P(X=3)=C2·

36 . ?5? ?5? 5 125

所以 X 的分布列为: X P 0 1 2 3

4 28 57 36 125 125 125 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=2.

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