100测评网江苏省泰州实验中学2008-2009学年第一学期期末考试高三数学试题


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泰州实验中学 2008-2009 学年度第一学期期末考试

高三数学试题
考生注意: 1.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等填写清楚.

命题人:毛加和

座位号

2.本试卷共有 20 道试题,满分 160 分,考试时间 120 分钟.请考生用 0.5 毫米的 黑色中性(签字)笔将答案直接写在试卷上. 参考公式: (1)样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差 (3)锥体体积公式

考试号_______________考场号

s?

1 ( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

?

?

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 (2)柱体体积公式

其中 S 为底面面积、 h 为高 (4)球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4πR2 , V ?

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

一、填空题(本大题满分 70 分) 本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1. y ? log1 ( x ? 3x ? 2) 的定义域是_______
2 2

班级_______________姓名

. . .

a 2.集合 A ? 3, 2 , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B =

?

?

3.如果复数 (m ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? _____
2

2 4.已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,设 ts 时的速度为 v(t ) ? t ? 3 (m / s) ,则 t ? 3s 时轿

车的瞬时加速度为______________________. 5.设 a ? 1, b ? 2 |,且 a 、 b 夹角 120 ,则 2a ? b ? ______
?

__. .

6.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

7.下列关于 ? 2 的说法中,正确的是
2



① ? 在任何相互独立问题中都可以用于检验是否相关;

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② ? 越大,两个事件的相关性越大;
2

③ ? 是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量,
2

它可以用来判断两个事件是否相关这一类问题. 8.泰州实验中学有学生 3000 人,其中高三学生 600 人.为了解学生的身体素质情况, 采用按年级分层抽样的方法,从学生中抽取一个 300 人的样本. 则样本中高三学生的人数为 .

9.函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调减区间为____________________. 10.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中 位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 .

1) (4 2) (2 6) . 11.在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,,
如果 P( x,y ) 是 △ ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时, 点 P 的坐标是 .

12.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形,若直 角三角形中较小的锐角 ? ?

?
6

, 现在向该正方形区域内随机地投掷一
?

枚飞

镖,飞镖落在小正方形内概率是___


0

13.已知正四棱锥 P—ABCD 的高为 4,侧棱长与底面所成的角为 60 , 则该正四棱锥的侧面积是 .

14.对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数”。在实数轴 R(箭 头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x 。这个函数[ x ]叫做“取整 函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

]= 那么 [log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ? [log3 4] ? ? ? [log3 243
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二、解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 15.(本题满分 14 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a tan B ? (Ⅰ)求 cos B 和边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 cos 4C 的值.

20 , b sin A ? 4 . 3



座位号

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16. (本题满分 14 分)四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2, CD ?

2, AB ? AC .

A

(Ⅰ) 取 CD 的中点为 F , AE 的中点为 G , 证明:FG || 面 ABC ; (Ⅱ)证明: AD ? CE . C B D E

17.(本题满分 15 分)已知动点 C ( x, y) 到点 A(?1,0) 的距离是它到点 B(1,0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ) 试求点 C 的轨迹方程; (Ⅱ) 试用你探究到的结果求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本题满分 15 分)由于卫生的要求游泳池要经常换水(进一些干净的水同时放掉一些脏

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水), 游泳池的水深经常变化,已知泰州某浴场的水深 y (米)是时间 t (0 ? t ? 24) ,(单位 小时)的函数,记作 y ? f (t ) ,下表是某日各时的水深数据

t(时) y(米)

0 2 5
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3 2 0
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6 15
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9 20
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12 2 49
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15 2

18 1 51
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21 1 99
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24 2 5
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经长期观测的曲线 y ? f (t ) 可近似地看成函数 y ? A cos?t ? b (Ⅰ)根据以上数据,求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (Ⅱ)依据规定,当水深大于 2 米时才对游泳爱好者开放,请依据(1)的结论, 判断一天内的上午 8
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00 至晚上 20

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00 之间,有多少时间可供游泳爱好者进行运动

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19.(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? a
x

?

1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 , a 为实数常数). ax

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值(用 a 表示);
t , 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围(用 a 表示). (2)若 a ? 1, 且 a f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[1

考试号_______________考场号

座位号

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20. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列, 数 列

?bn ?

2 是 公 比 为 q 的 (q ∈ R) 的 等 比 数 列 , 若 函 数 f ( x) ? x , 且

a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) , b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ,
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n , 对一切 n ? N , 都有
?

c c1 c2 求 Sn ? ? ? ? n ? an?1 成立, b1 2b2 nbn

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答案要点及评分标准
一、(第 1 题至第 16 题) 1. x x ? 2或x ? 1

?

?

2. ? 1,2,3?

3. ?1

4. 6 m / s 8. 1 ?

2

5. 2

6. -1.

7. ③

3 2

9. (0,1)

10. a ? 10.5, b ? 10.5

11. ?

?5 ? ,5 ? . ?2 ?

12. 60

13.

32 7 3

14. 857

三、(第 15 题至第 20 题) 15.解:(1)由 b sin A ? 4 得 a sin B ? 4 ,

20 与 a sin B ? 4 两式相除,有: 3 3 cos B ? ? 0 , ………………….4 分 5 20 又通过 a tan B ? 知: tan B ? 0 , 3 3 4 4 则 cos B ? , sin B ? , tan B ? 5 5 3 则 a ? 5 . ………………….8 分
由 a tan B ?

1 ac sin B ,得到 c ? 5 .? A ? C ………………….10 分 2 3 2 7 2 2 2 由 cos 4C ? 2 cos 2C ? 1 ? 2 cos ( A ? C ) ? 1 ? 2 cos B ? 1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? ? 5 25
(2)由 S ?

….14 分

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16.解:(1)取 BE 的中点为 P, 连 PF , PG, 可以证明 GP || AB, FP || BC

? 面 ABC || 面 FGP ,

? FG || 面 ABC …………………6 分

(2)取 BC 中点 F ,连接 DF 交 CE 于点 O ,

AB ? AC ,

? AF ? BC ,
又面 ABC ? 面 BCDE ,

? AF ? 面 BCDE ,

? AF ? CE .………………….10 分 2 , tan ?CED ? tan ?FDC ? 2 ? ?OED ? ?ODE ? 90 ,
??DOE ? 90 ,即 CE ? DF ,
? CE ? 面 ADF , ? CE ? AD .………………….14 分
17. .解: (1) CA ?

2CB , ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2

? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 ………………….8 分
(2) y max ? 2 2 ………………….10 分

? ( S ?ABC ) max ?

1 ? AB ? 2 2 ? 2 2 ………………….15 分 2 2? ? ? T 6
由 t ? 0, y ? 2.5 得 A ? b ? 2.5

18 解

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(1)由表中数据,知 T ? 12 , ? ? 由 t ? 3, y ? 2 ,得 b ? 2
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所以, A ? 0.5, b ? 2

1 ? 1 ,∴y= cos t ? 2 ………………….8 分 2 2 6 1 ? ? (2)由题意知,当 y ? 2 时,才可对冲浪者开放 ∴ cos t ? 2 >2, cos t >0 6 2 6 ? ? ? ∴– 2k? ? ? t ? 2k? ? , 2 6 2 即有 ? 12 k? ? 3 ? t ? 12 k? ? 3 ,
振幅 A=
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由 0 ? t ? 24 ,故可令 k ? 0,1,2 ,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 ∴在规定时间内有 6 个小时可供游泳爱好者运动即上午 9
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……1.4 分 00 ……….15 分
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00 至下午 15

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x 19、【解】(1)当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? a ?

1 ? 2 ,即 a 2 x x a x ∵ a ? 0,? x ? loga (1 ? 2 )
由条件可知, a ?
x

1 . …………….2 分 ax ? 2 ? a x ? 1 ? 0 解得 a x ? 1 ? 2 …………6 分
…………..8 分 ……………10 分

(2)当 t ? ? 1,2? 时, a (a
t

2t

?

1 1 ) ? m( a t ? t ) ? 0 2t a a

即 m(a 2t ? 1) ? ?(a 4t ? 1)

? a ? 1, t ? ?1,2?

? a 2t ? 1 ? 0,? m ? ?(a 2t ? 1) ? t ? ?1,2?,? a 2t ? 1? a 2 ? 1, a 4 ? 1 ? ?(a 2t ? 1) ? ? 1 ? a 4 ,?1 ? a 2
2

………………13 分

?

?
…………….16 分

? 故 m 的取值范围是 ?? 1 ? a ,???

?

20.解 (1)数列 ?an ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列
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f ( x) ? x 2 ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1)
? (d ? 1) 2 ? 4d ? (2d ? 1) 2
a1 ? 1
?d ? 2

? an ? 2n ? 1 ………………….4 分

数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列

f ( x) ? x 2 ,且, b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q)
? q 2 ? q 2 (q ? 2) 2
b1 ? 1
(2)

q?3

bn ? 3n?1 ………………….8 分
c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 b1 b2 bn c1 ? a2 b1
c1 ? 3 , S1 ? 3 ………………….10 分

n ?1

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n?2

cn ? a n ?1 ? a n ? 2 nbn

cn ? 2n ? 3n?1 ………………….12 分
S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1
? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1
设 x ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
0 1 2 n ?1

3? x ?

1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n

2x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 )
? n ? 3n ? 3n ? 1 2

1 3 ? S n ? (n ? ) ? 3 n ? ………………….14 分 2 2 1 3 n ? 综上 S n ? ( n ? ) ? 3 ? , n ? N ………………….16 分 2 2

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泰州实验中学 2008-2009 学年度第一学期期末考试

高三数学理科附加题
本卷共有 4 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,每题 10 分.

命题人:毛加和

座位号

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和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? .

1. (本题 10 分)圆 O1 (1)把圆 O1

和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; ,圆 O2 交点的直线的直角坐标方程.

(2)求经过圆 O1

2. (本题 10 分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次 烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术 水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5,0.6,0.4 ,经过第二次烧制 后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6,0.5,0.75 . (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ? ,求随机变量 ? 的期望.

3.(本小题满分 10 分)右图是一个直三棱柱(以 A1 B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体, 截面为 ABC .已知 A1 B1 ? B1C1 ? 1, ?A1 B1C1 ? 90 ,
?

AA1 ? 4, BB1 ? 2, CC1 ? 3 .

(1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC || 平面 A1 B1C1 ; (2)求二面角 B ? AC ? A1 的大小;

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4.(本题满分 10 分)如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是 曲线 C :y 2 ? 3x( y ? 0) 上的 n 个点, 点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3? n ) 在 x 轴的正半轴上, 且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (Ⅱ)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的 横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.

1 解: 以有点为原点, 极轴为 轴正半轴, 建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位. (1)

x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 由 ? ? 4 cos? 得 ? 2 ? 4? cos? .
所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为圆 O1 的直角坐标方程.……………….3 分
2 2

同理 x ? y ? 4 x ? 0 为圆 O2 的直角坐标方程.……………….6 分
2 2
2 2 ? ?x ? y ? 4x ? 0 (2)由 ? 2 2 ? ?x ? y ? 4x ? 0

解得 ?

? x1 ? 0 ? y1 ? 0,

? x2 ? 2 . ? ? y 2 ? ?2

即圆 O1 , 圆 O2 交于点 (0,0) 和 (2,?2) . 过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . ……………….10 分

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2 解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1 , A2 , A3 , (1)设 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

P(E) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ? A2 ? A3 )
.……………….5 分 (2)解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p ? 0.3 , 所以 ? ~ B(3,0.3), 故 E? ? np ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .……………….10 分 解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A, B, C , 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.3, 所以 P(? ? 0) ? (1 ? 0.3) ? 0.343 ,
3

P(? ? 1) ? 3 ? (1 ? 0.3) 2 ? 0.3 ? 0.441 , P(? ? 2) ? 3 ? 0.32 ? 0.7 ? 0.189, P(? ? 3) ? 0.33 ? 0.027.
于是 E (? ) ? 1? 0.441? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 ……………….10 分 3.解法一: (1)证明:作 OD || AA 1 交 A1 B1 于 D ,连 C1 D . 则 OD || BB1 || CC1 . 因为 O 是 AB 的中点,

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所以 OD ?

1 ( AA1 ? BB1 ) ? 3 ? CC1 . 2

则 ODC1C 是平行四边形,因此有 OC || C1 D .

C1 D ? 平面 C1 B1 A1 且 OC ? 平面 C1 B! A1 ,
则 OC || 面 A1 B1C1 .……………….5 分 (2)如图,过 B 作截面 BA2 C 2 || 面 A1 B1C1 ,分别交 AA , CC1 于 A2 , C2 . 作 BH ? A2 C2 于 H ,连 CH . 因为 CC1 ? 面 BA2 C 2 ,所以 CC1 ? BH ,则 BH ? 平面 A1C . 又因为 AB ? 5, BC ?

2, AC ? 3 ? AB2 ? BC 2 ? AC 2 .

所以 BC ? AC ,根据三垂线定理知 CH ? AC ,所以 ?BCH 就是所求二面角的平面角. 因为 BH ?

BH 1 2 ? ,故 ?BCH ? 30? , ,所以 sin ?BCH ? BC 2 2
?

即:所求二面角的大小为 30 .……………….10 分

解法二: (1)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,1,4), B(0,0,2), C (1,0,3) 因为 O 是 AB 的中点,所以 O(0, ,3) ,

1 2

1 OC ? (1,? ,0) . 2
易知, n ? (0,0,1) 是平面 A1 B1C1 的一个法向量. 因为 OC ? n ? 0, OC ? 平面 A1 B1C1 ,

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所以 OC || 平面 A1 B1C1 .……………….5 分 (2) AB ? (0,?1,?2), BC ? (1,0,1) , 设 m ? ( x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量,则 则 AB ? n ? 0, BC ? m ? 0 得: ? 取 x ? z ? ?1, m ? (1,2,?1) . 显然, l ? (1,1,0) 为平面 AA1C1C 的一个法向量. 则 cos(m ? l ) ?

?? y ? 2 z ? 0 ?x ? z ? 0

m?l m?l

?

3 ,结合图形可知所求二面角为锐角. 2
?

所以二面角 B ? AC ? A1 的大小是 30 .……………….10 分 4.解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; ……………….6 分 (2)依题意,得 x n ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) , 2 2

即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

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(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得

ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去),
即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)、(2)知:命题成立.……………….10 分 =========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版,外 研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小五, 小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学研究 , 在线教学 , 在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅 导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题,专项 练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学习资 料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =========================================================== 本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测,练习与提升.


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