2014广州一模理科数学评分细则


2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 5 6 C 7 D 8 A

D B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15

2 10

?

2011 2

?1 或 ?5

2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知 识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0 ? ,所以 f ? ?

? π ? 3

? ?

? ?? ? ? 0 .………………1 分 ? 3?

即 sin ? ?

? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 .…………………………………………………………………………2 分 ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ? 0. 2 2

解得 a ? 3 . ………………………………………………………………………………………………3 分

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 1 页 共 13 页

(2)方法 1:由(1)得 f ( x ) ? sin x ? 3 cos x .

所以 g ( x ) ? [ f ( x )]2 ? 2 ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ………………………………………………………………………5 分

?

?

2

? 3 ? 1 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

? ?? ? ? 2 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 6 6? ? π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? .……………………………………………………………………………7 分 6? ?
所以 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ? .……………………………………………………………………8 分 2

因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

? ?

? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z ? ,………………………………9 分 2 2?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增,……………………………10 分 2 6 2 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增.…………………………………………11 分 3 6
所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? 方法 2:由(1)得 f ( x ) ? sin x ? 3 cos x

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z ? . ………………………………………12 分 3 6?

? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ? π? ? ? 2sin ? x ? ? .……………………………………………………………………5 分 3? ?
? π ?? ? 所以 g ( x ) ? [ f ( x )] ? 2 ? ? 2sin ? x ? ? ? ? 2 3 ?? ? ?
2
2

π? ? ? 4sin 2 ? x ? ? ? 2 3? ?
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 13 页

2π ? ? ? ?2 cos ? 2 x ? ? .…………………………………………………………………………7 分 3 ? ?
所以函数 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ? .………………………………………………………………8 分 2

因为函数 y ? cos x 的单调递减区间为 ? 2k ?, 2k ? ? ?? ? k ? Z ? ,……………………………………9 分

2? ? 2k ? ? ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增.………………………………10 分 3 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ( k ? Z )时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以当 2k ? ? 2 x ? 所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z ? . ………………………………………12 分 3 6?

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与必 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 解: (1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A1 , A2 , A3 , 由已知 A1 , A2 , A3 相互独立,且满足

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , ………………………………………………………………………3 分 ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
解得 P ? A2 ? ?

1 3 , P ? A3 ? ? . 2 5 1 3 , .……………………………………………………5 分 2 5

所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为

(2) ? 的可能取值为 1,3.…………………………………………………………………………………6 分 因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ?? ?
2 1 3 3 1 2 6 ? ? ? ? ? ? ? . 5 2 5 5 2 5 25 6 19 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ? ? ? 3? ? 1 ? ? .…………………………………………………………9 分 25 25
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 13 页

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 1?

1

3

19 25

6 25

…………………………………10 分

19 6 37 .………………………………………………………………………12 分 ? 3? ? 25 25 25

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结 合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

推理论证法: (1)证明:连结 B1 D1 , BD ,

D1
因为四边形 A1 B1C1 D1 是正方形,所以 A1C1 ? B1 D1 .……………1分 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,

C1 B1
F
C

A1

E D

A1C1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,所以 A1C1 ? DD1 .………………………2分
A
因为 B1 D1 ? DD1 ? D1 , B1 D1 , DD1 ? 平面 BB1 D1 D ,

B

所以 A1C1 ? 平面 BB1 D1 D .………………………………………………………………………………3分 因为 EF ? 平面 BB1 D1 D ,所以 EF ? A1C1 .…………………………………………………………4分 (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH ? AE .………………5分 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG ? BH ,则 FG ? AE . 连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.…………………………6 分

D1 A1
E D F A B

C1 G B1
H
C

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a . 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面.…………8分 6
因为 CH ? 数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 4 页 共 13 页

(3)延长 EF , DB ,设 EF ? DB ? M ,连结 AM , 则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线. 过点 B 作 BN ? AM ,垂足为 N ,连结 FN , 因为 FB ? AM , FB ? BN ? B , 所以 AM ? 平面 BNF . 因为 FN ? 平面 BNF ,所以 AM ? FN . 所以 ?FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成 二面角的平面角.………………………………………9分

D1 A1
E D A
N

C1 B1
F B
C

1 a MB BF 3 2 因为 ? ? ? , 1 MD DE a 3 2

M

MB 2 ? , 即 MB ? 2a 3
所以 MB ? 2 2a .………………………………………………………………………………………10分 在△ ABM 中, AB ? a , ?ABM ? 135? , 所以 AM ? AB ? MB ? 2 ? AB ? MB ? cos135
2 2 2 ?

2 ? 2? 2 ? a 2 ? 2 2a ? 2 ? a ? 2 2a ? ? ? ? 2 ? ? ? 13a . ? ?

?

?

即 AM ? 13a .…………………………………………………………………………………………11分 因为

1 1 AM ? BN ? AB ? MB ? sin135? , 2 2

AB ? MB ? sin135? 所以 BN ? ? AM
2 2

a ? 2 2a ?

2 2 ? 2 13 a .……………………………………12分 13 13a
2

2 7 13 ? 1 ? ? 2 13 ? 所以 FN ? BF ? BN ? ? a ? ? ? a? ? a .……………………………………13分 ? ? 39 ? 3 ? ? 13 ? BN 6 所以 cos ?FNB ? ? . FN 7 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 .……………………………………………14分 7

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 5 页 共 13 页

空间向量法: (1)证明:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 A ? a, 0, 0 ? , A1 ? a, 0, a ? , C1 ? 0, a, a ? ,

z D1
A1
E D

C1 B1
C

1 ? 1 ? ? ? E ? 0, 0, a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ? ?
所以 A1C1 ? ? ? a, a, 0 ? , EF ? ? a, a, ? 因为 A1C1 ? EF ? ? a 2 ? a 2 ? 0 ? 0 , 所以 A1C1 ? EF .

F A x B

y

?????

??? ?

? ?

1 ? a ? .………………3分 6 ?

????? ??? ? ?????

??? ?

所以 EF ? A1C1 .…………………………………………………………………………………………4分 (2)解:设 G ? 0, a, h ? ,因为平面 ADD1 A1 ? 平面 BCC1 B1 , 平面 ADD1 A1 ? 平面 AEGF ? AE ,平面 BCC1 B1 ? 平面 AEGF ? FG , 所以 FG ? AE .…………………………………………………………………………………………5分 所以存在实数 ? ,使得 FG ? ? AE . 因为 AE ? ? ? a, 0,

??? ?

??? ?

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , FG ? ? ?a, 0, h ? a ? , 2 ? 3 ? ?

所以 ? ? a, 0, h ?

? ?

1 ? 1 ? ? a ? ? ? ? ?a, 0, a ? . 3 ? 2 ? ?

5 a .……………………………………………………………………………………7分 6 5 1 所以 C1G ? CC1 ? CG ? a ? a ? a . 6 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面.……………………………………………………8分 6
所以 ? ? 1 , h ? (3)解:由(1)知 AE ? ? ? a, 0,

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? .……………………………………………9分 2 ? 3 ? ?

设 n ? ? x, y , z ? 是平面 AEF 的法向量, 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 13 页

??? ? ? n ? AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ? ?n? AF ? 0.

1 ? ?ax ? az ? 0, ? ? 2 即? ?ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?
取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 . 所以 n ? ? 3, ?2, 6 ? 是平面 AEF 的一个法向量.………………………………………………………11分 而 DD1 ? ? 0, 0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量,……………………………………………………12分 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

???? ?

???? ? n? DD1 则 cos ? ? ???? ? ………………………………………………………………………………………13分 n ? DD1
? 0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a
2

?

6 . 7

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

6 .……………………………………………14分 7

第(1) 、 (2)问用推理论证法,第(3)问用空间向量法: ( 1) 、 (2)给分同推理论证法. (3)解:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系,……………………………………………9分 则 A ? a, 0, 0 ? , E ? 0, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ?

则 AE ? ? ? a, 0,

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . ………………10 分 2 ? 3 ? ?

z D1
A1
E D F A x B

C1 B1
C

设 n ? ? x, y , z ? 是平面 AEF 的法向量,

y

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 7 页 共 13 页

1 ? ??? ? ? ax ? az ? 0, ?n? AE ? 0, ? ? ? 2 则 ? ??? 即? ? n ? AF ? 0. ? ?ay ? 1 az ? 0. ? ? 3 ?
取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 . 所以 n ? ? 3, ?2, 6 ? 是平面 AEF 的一个法向量. ………………………………………………………11 分 而 DD1 ? ? 0, 0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量,……………………………………………………12分 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

???? ?

???? ? n? DD1 则 cos ? ? ???? ? ………………………………………………………………………………………13分 n ? DD1
? 0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a
2

?

6 . 7

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

6 .……………………………………………14分 7

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求 解能力和创新意识) 解: (1)因为等差数列 ?an ? 的首项为 10,公差为 2, 所以 an ? 10 ? ? n ? 1? ? 2 , 即 an ? 2n ? 8 .……………………………………………………………………………………………1 分 因为等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, 所以 bn ? 1? 2n ?1 , 即 bn ? 2n ?1 .………………………………………………………………………………………………2 分 (2)因为 a1 ? 10 , a2 ? 12 , a3 ? 14 , a4 ? 16 , a5 ? 18 , a6 ? 20 ,

b1 ? 1 , b2 ? 2 , b3 ? 4 , b4 ? 8 , b5 ? 16 , b6 ? 32 .
易知当 n ? 5 时, an ? bn .………………………………………………………………………………3 分 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 13 页

下面证明当 n ? 6 时,不等式 bn ? an 成立. 方法 1:①当 n ? 6 时, b6 ? 26 ?1 ? 32 ? 20 ? 2 ? 6 ? 8 ? a6 ,不等式显然成立. ②假设当 n ? k ? k ? 6 ? 时,不等式成立,即 2
k ?1

? 2k ? 8 .

则有 2k ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 8 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 ? ? 2k ? 6 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 . 这说明当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合①②可知,不等式对 n ? 6 的所有整数都成立. 所以当 n ? 6 时, bn ? an .………………………………………………………………………………4 分 方法 2:因为当 n ? 6 时

bn ? an ? 2n ?1 ? ? 2n ? 8? ? ?1 ? 1?

n ?1

? ? 2n ? 8 ?

1 2 n ?1 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ? 1 2 n ?3 n? 2 n ?1 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? Cn ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ? 1 2 ? 2 ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? Cn ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ?

? n 2 ? 3n ? 6 ? n ? n ? 4 ? ? ? n ? 6 ? ? 0 ,
所以当 n ? 6 时, bn ? an .………………………………………………………………………………4 分

?2n ?1 , 所以 cn ? min ?an , bn ? ? ? ?2n ? 8,
则 cn ? ?
2 2 n ?2 ? ?2 , 2 ? ?4 ? n ? 4 ? ,

n ? 5, n ? 5.

…………………………………………………………5 分

n ? 5, n ? 5.

……………………………………………………………………………6 分

当 n ? 5 时,

S n ? c12 ? c2 2 ? c3 2 ? ? ? cn 2 ? b12 ? b2 2 ? b32 ? ? ? bn 2

? 20 ? 22 ? 24 ? ? ? 22 n? 2
? 1 ? 4n 1 n ? ? 4 ? 1? .………………………………………………………………………………8 分 1? 4 3

当 n ? 5 时,

S n ? c12 ? c2 2 ? c3 2 ? ? ? cn 2
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 13 页

? ? b12 ? b2 2 ? ? ? b52 ? ? ? a6 2 ? a7 2 ? ? ? an 2 ? ……………………………………………………9 分
? 1 5 2 2 2 4 ? 1? ?4 ?? 6 ? 4 ? ? ? 7 ? 4 ? ? ? ? ? n ? 4 ? ? ……………………………………………10 分 ? ? ? 3

2 2 2 ? ? 341 ? 4 ? ?? 6 ? 7 ? ? ? n ? ? 8 ? 6 ? 7 ? ? ? n ? ? 16 ? n ? 5 ? ? …………………………………11 分 2 2 2 2 2 2 ? ? 341 ? 4 ? ??1 ? 2 ? ? ? n ? ? ?1 ? 2 ? ? ? 5 ? ? ? 32 ? 6 ? 7 ? ? ? n ? ? 64 ? n ? 5 ?

? n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? ? 6 ? n ?? n ? 5 ? ? 341 ? 4 ? ? 55? ? 32 ? ? 64 ? n ? 5 ? …………………………12 分 6 2 ? ?

?

4 3 242 n ? 18n 2 ? n ? 679 .……………………………………………………………………13 分 3 3

?1 n ? 4 ? 1? , ? ?3 综上可知, S n ? ? ? 4 n3 ? 18n 2 ? 242 n ? 679, ? 3 ?3

n ? 5,
………………………………………………14 分

n ? 5.

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
解得 a ?

5 .…………………………………………………………………………………………… 2 分
a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ? 3, 0 ? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

因为 PF2 ?QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ??? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 . 所以 ty0 ?

???? ? ???? ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? .……………………………………………………………………………………3 分 3

因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以

x0 2 y0 2 4 2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? ? x0 ? 5 ? .………………………4 分 5 4 5

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 10 页 共 13 页

所以 k PQ ? kOQ

2 y0 ? t y0 y0 ? ty0 …………………………………………………………………5 分 ? ? ? 5 5 2 x0 ? x0 x0 ? x0 3 3

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .………………………………………………………6 分 5
( 3 )证法 1: 设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , ?3 ?
4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? . ? 5 5

N ? x2 , y2 ? ,则 4 x12 ? 5 y12 ? 20 , 4 x2 2 ? 5 y2 2 ? 20 ,即 y12 ?

???? ? ???? ? PM MH ? PM ? ? PN , 设 ? ? ? ,则 ????? ? ???? .……………………………………………………………8 分 PN HN ? ?MH ? ? HN .
?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② …………………………………………………………10 分 ③ ④

………………………………………12 分

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y12 ? 得y?



4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? 代入⑥, ? 5 5


4 x12 ? ? 2 x2 2 ? ?4. 5 1? ? 2

将⑤代入⑦,得 y ?

4 x?4. 3

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上.……………………………………………………………14 分

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 11 页 共 13 页

证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在. 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ?

? ?

5? ? ,……………………………………………………………………7 分 3?

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? , ? ? ? 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ? 4 ?5
消去 y 得 9 4 ? 5k

?

2

?x

2

? 30 ? 5k 2 ? 3k ? x ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? 0 .…………………………………8 分

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? 则有 ? x1 ? x2 ? , 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?
设点 H ? x, y ? ,

① ② ………………9 分



5 x1 ? PM MH 3 ? x ? x1 .………………………………………………………………10 分 由 ? ,得 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3
整理得 6 x1 x2 ? ? 3x ? 5?? x1 ? x2 ? ? 10 x ? 0 .…………………………………………………………11 分 将②③代入上式得

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?

?

30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?

? 10 x ? 0 .
④………………………………12 分

整理得 ? 3 x ? 5 ? k ? 4 x ? 15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .

? ?

5? ?. 3?

⑤………………………………13 分

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上.……………………………………………………………14 分 (本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围. ) 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 12 页 共 13 页

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与 讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) 解: (1)因为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e , 所以 f ?( x) ? (2 x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? x ? 1 e ? ( x ? 1)( x ? 1)e x .…………………………1 分 当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? . 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,1? . 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ?1,1? .…………………3 分 (2)假设函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上存在“域同区间”[s , t ] (1 ? s ? t ) ,……………………………………4 分 由(1)知函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,

?

2

?

x

?

2

?

x

? f ( s ) ? s, 所以 ? ? f (t ) ? t .

?( s ? 1)2 ? e s ? s, 即? …………………………………………………………………5 分 2 t ? (t ? 1) ? e ? t.

也就是方程 ( x ? 1) 2 e x ? x 有两个大于 1 的相异实根.…………………………………………………6 分 设 g ( x ) ? ( x ? 1) 2 e x ? x ( x ? 1) ,则 g ?( x ) ? ( x 2 ? 1)e x ? 1 .…………………………………………7 分 设 h ? x ? ? g ?( x ) ? ( x 2 ? 1)e x ? 1 ,则 h? ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e .………………………………………8 分 因为在 (1, ?? ) 上有 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.…………………………………9 分 因为 h ?1? ? ?1 ? 0 , h ? 2 ? ? 3e ? 1 ? 0 , 即存在唯一的 x0 ? ?1, 2 ? ,使得 h ? x0 ? ? 0 .…………………………………………………………10 分 当 x ? ?1, x0 ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ?1, x0 ? 上是减函数; 当 x ? ? x0 , ?? ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ? x0 , ?? ? 上是增函数.…………………11 分 因为 g ?1? ? ?1 ? 0 , g ( x0 ) ? g (1) ? 0 , g (2) ? e 2 ? 2 ? 0 , 所以函数 g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点. ………………………………………………………12 分 这与方程 ( x ? 1) 2 e x ? x 有两个大于 1 的相异实根相矛盾,所以假设不成立.……………………13 分 所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在“域同区间” .……………………………………………………14 分 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 13 页 共 13 页
2

?

2

?

x


相关文档

2014年广州市一模(理科数学)
2014年广州一模(理科数学)
2014广州一模数学试题(理科)
2014年广州市一模数学试题(理科)
2014年广东省广州市一模理科数学
2014广州一模理科数学真题及答案
2014广州高考一模理科数学分析
2014广州一模理科数学试题和答案
2014广州一模文科数学评分细则
2014年广州市一模数学试题解析(理科)
电脑版