【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第九章 概率与统计 第4讲 古典概型与几何概型课件 理_图文

第4讲 古典概型与几何概型

1.古典概型. (1)理解古典概型及其概率计算公式.

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事
件发生的概率. 2.随机数与几何概型.

(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
(2)了解几何概型的意义.

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古

典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.

相等 (2)每个基本事件出现的可能性______.

3.古典概型的概率公式

如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出
1 现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是n.该概率
模型即为古典概型. 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 m n P(A)=_________.

4.几何概型
长度 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______ (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,

简称为几何概型.
5.几何概型中,事件 A 的概率计算公式
构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 区域的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个. (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 注意:①几何概型的试验中,事件 A 的概率 P(A)只与子区

域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置和
形状无关; ②求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和 整个区域Ω的几何度量,然后代入公式即可求解.

1.(2013 年江西)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各
取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是( C )
2 A.3 1 B.2 1 C.3 1 D.6

2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,则甲被选中的概率
为( C )
1 A.2 1 B.3 2 C.3 3 D.4

2 解析:基本事件总数为 3 种,甲被选中有 2 种,则 p=3. 故选 C.

3.(2013 年福建)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,

2 3 则事件“3a-1>0”发生的概率为________.

解析:这是对几何概型的考查.事件“3a-1>0”发生的概 1 2 率可转化为长度之比,则 a>3在 0~1 中对应的长度为3,故概 2 率为3.

4.如图9-4-1的矩形,长为 5,宽为 2.在矩形内随机地撒 300
颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗.则我们可以估计 23 5 出阴影部分的面积为_______.

图 9-4-1

考点 1 古典概型 例1:(1)(2014年江西,人教版必修3P127例3)掷两颗均匀的

骰子,则点数之和为 5 的概率等于(
1 A.18 1 C.6 1 B.9 1 D.12

)

解析:掷两颗均匀的骰子,点数的所有可能情况有 6×6=

36(种),其中两颗骰子点数之和为 5 的事件有(1,4),(4,1),(2,3),

4 1 (3,2),共 4 种,因此所求概率为36=9.
答案:B

(2)(2014年湖北) 随机投掷两枚均匀的骰子,他们向上的 点数之和不超过 5的概率为 p1 ,点数之和大于 5 的概率为 p2 , 点数之和为偶数的概率为p3,则( A.p1<p2<p3 C.p1<p3<p2 B.p2<p1<p3 D.p3<p1<p2 )

10 10 26 1 解析: 依题意, p1=36, p2=1-36=36, p3=2, 所以 p1<p3<p2. 故选 C.

答案:C

m 【规律方法】本题是考查古典概型,利用公式 P?A?= . n

古典概型必须明确判断两点:①对于每个随机试验来说,所有 可能出现的实验结果数 n 必须是有限个;②出现的所有不同的

试验结果数 m 其可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关
键是列举做到不重不漏.

【互动探究】
1.(2014 年四川)一个盒子里装有 3 张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这 3 张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3

次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

解:(1)由题意,(a,b,c)的所有可能有 3×3×3=27(种).

设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,则事件

A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种,
3 1 所以 P(A)=27=9. 1 因此“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为9.

(2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,
则事件- B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种, 3 8 所以 P(B)=1-27=9. 因此“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率 8 为9.

考点 2 几何概型

例 2:(1)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则
S △PBC 的面积不小于3的概率是( 2 A.3 3 C.4 1 B.3 1 D.4 )

解析:取 AB 的三等分点P,如图D49,如果在线段BP 上

S 取点,△PBC 的面积小于3;如果在线段 AP 上取点,△PBC 的 S AP 2 面积不小于3,所以所求概率为 p=AB=3.

图 D49 答案:A

(2)向面积为 S 的△ABC 内任投一点 ,则PPBC 的面积小

S 于2的概率为________.
解析:取 AB,AC 的中点 E,F,如图 D50,如果点 P 在线 S 段 EF 上,△PBC 的面积等于2;如果点 P 在线段 EF 上方(即△ S AEF 内),△PBC 的面积大于2;如果点 P 在线段 EF 下方(即四 S 边形 EFCB 内),△PBC 的面积小于2.所以所求概率为 p=

3 =4.

图 D50
3 答案: 4

【规律方法】应用几何概型求概率的步骤:
①把每一次试验当做一个事件,看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个,若是则考虑用几何概型; ②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形,并加以度量;,③将几何概型转化为长度、面积、体积之比, 应用几何概型的概率公式求概率.

【互动探究】 2.(2014 年辽宁)若将一个质点随机投入如图 9-4-2 所示的长 方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径 的半圆内的概率是( )

图 9-4-2
π A.2 π B.4 π C.6 π D.8

1 2 × π × 1 2 解析:质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 p= 1×2 π =4.

答案:B

考点 3 两种概型与其他知识的综合运用 例 3:甲、乙两人约定上午 9 时至12 时在某地时见面,并 约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时,一小时

之内若对方不来,则离去.如果他们两人在 9 时到 12 时之间的
任何时刻到达约定地的概率都是相等的,求他们见到面的概率. 思维点拨:(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面 直角坐标系内分别用x 轴、y 轴表示甲、乙到达约会地时的时间, 用 0 时到 3 时表示9 时至12 时的时间段,则试验发生包含的条 件是{(x ,y)|0<x<3,0<y<3}.(2) 两人能会面的时间必须满足|x -

y|≤1.这就将问题化归为几何概型问题.

解:设9 时后过了x 小时甲到达,9 时后过了y 小时乙到达, 取点 Q(x,y),

则 0<x<3,0<y<3.
两人见到面的充要条件是|x-y|<1. 如图 9-4-3,作出两部分对应图形的 区域,得所求概率是 图 9-4-3

1 2 3 -2×2×2 5 p= =9. 32
2

【规律方法】将随机事件转化为面积之比时,要注意总的 基本事件和所求事件分别表示的区域.

【互动探究】
3.(2014年重庆,由人教版必修3P137例2改编)某校早上8:00

开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间

到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张
比小王至少早 5 分钟到校的概率为_______.(用数字作答)

解析:用 x 表示小王到校的时间,30≤x≤50,用y 表示小 张到校的时间,30≤y≤50,则所有可能的结果对应如图 D51 所示的直角坐标系中的正方形ABCD 区域,小张比小王至少早 5 分钟到校,即 x-y≥5,所对应的区域为
1 2×15×15 9 △BEF.所以 p= = =32. S正方形ABCD 20×20 S△BEF

9 答案:32

图 D51

●易错、易混、易漏● ⊙几何概型中容易混淆几何量的比 例题:(1)在直角三角形 ABC 中,∠A=30°,过直角顶 点C作射线 CM 交线段 AB 于 M,则使|AM|>|AC|的概率为(
1 A.3 2- 3 C. 2 1 B.6 3 D.4

)

正解:如图9-4-4,取 AD=AC,∠A=30°,此时∠ACD=
75°,则∠BCD=15°.欲使|AM|>|AC|,CM必须在∠BCD内,其

15° 1 概率为90° =6.

图 9-4-4

答案:B

(2)在直角三角形 ABC 中,∠A=30°,在斜边 AB 上任取一 点 M,则使|AM|>|AC|的概率为( )

1 A.3

1 B.6

2- 3 C. 2

3 D.4

正解:如图 944,AD=AC,∠A=30° ,欲使|AM|>|AC|, 点 M 必须在线段 BD 内.设 BC=x,则 AB=2x,AD=AC= 3x, 2- 3 BD=(2- 3)x.所求概率为 2 .

答案:C

【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点 C 作射线

CM 交线段 AB 于 M”与“在斜边 AB 上任取一点 M”,前者 CM 在直角内等可能,结果应该为角度的比;后者 M 为斜边AB
上任一点,结果应该为斜边 AB 上的长度比.


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