【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习:第3章 2 独立性检验]

第三章

§2

一、选择题 1.独立性检验显示:有 90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关,那么下列说法中正 确的是( )

A.在 100 个男性中约有 90 个人爱喝酒 B.若某人爱喝酒,那么此人为男性的可能性为 90% C.判断出错的可能性为 10% D.有 90%的把握认为 10 个男性中有 9 个人爱喝酒 [答案] C 2.提出统计假设 H0,计算出 χ2 的值,即拒绝 H0 的是( A.χ2=6.635 C.χ2=0.725 [答案] A [解析] 依据独立性检验的思想及其结论的应用,应选 A. 3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: B.χ2=2.63 D.χ2=1.832 )

男 爱好 不爱好 总计 40 20 60

女 20 30 50

总计 60 50 110

2 n?ad-bc?2 2 110×?40×30-20×20? 由K= 算得,K = ≈7.8. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 60×50×60×50 2

附表: P(K2≥k) k 参照附表,得到的正确结论是( ) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C

[解析] 根据独立性检验的思想方法,正确选项为 C. 二、填空题 4.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系,你认为应该收集的 数据是____________________________________. [答案] 男正教授人数,副教授人数;女正教授人数,副教授人数. 5.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表.能以 ________的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系. 出生时间 性别 男婴 女婴 合计 [答案] 90% [解析] 由列联表可以看出 a=24,b=31,c=8,d=26,a+b=55,c+d=34,a+c =32,b+d=57,n=a+b+c+d=89, n?ad-bc?2 代入公式 χ2= 得 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 89×?24×26-31×8?2 χ2= ≈3.689, 55×34×32×57 由于 χ2≈3.689>2.706, ∴我们有 90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系. 三、解答题 6. 为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患胃病 生活不规律 生活有规律 合计 60 20 80 未患胃病 260 200 460 合计 320 220 540 晚上 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89

根据以上数据判断 40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? [分析] 先计算 χ2 的数值,然后比较 χ2 与 3.841 及 6.635 的大小,进而得出是否有关的 结论. 540?60×200-260×20?2 [解析] 由公式得 χ = 320×220×80×460
2



540?12 000-5 200?2 2 496 960 = ≈9.638. 2 590 720 000 259 072

∴9.638>6.635,

∴有 99%的把握说 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律的人易 患胃病. [点评] 本题利用 χ2 公式计算出 χ2 的值,再利用临界性的大小关系来判断假设是否成 立,解题时应注意准确代数与计算,不可错用公式,要准确进行比较与判断.

一、选择题 1.(2014· 江西理,6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之 间的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性 最大的变量是( )

A.成绩 C.智商 [答案] D

B.视力 D.阅读量

[解析] 根据 χ2 计算公式可知,阅读量与性别相关数据较大,所以选 D. 2.在一次独立性检验中,其把握性超过 99%,则随机变量 χ2 的一个可能的值为( A.6.635 C.7.897 [答案] C [解析] 若有 99%把握,则 χ2>6.635,只有 C 满足条件. 3.分类变量 X 和 Y 的列联表如下,则( Y1 X1 X2 总计 a c a+c Y2 b d b+d ) 总计 a+b c+d a+b+c+d B.5.024 D.3.841 )

A.ad-bc 越小,说明 X 与 Y 的关系越弱 B.ad-bc 越大,说明 X 与 Y 的关系越强

C.(ad-bc)2 越大,说明 X 与 Y 的关系越强 D.(ad-bc)2 越接近于 0,说明 X 与 Y 的关系越强 [答案] C n?ad-bc?2 [解析] 由统计量 χ2 的计算公式计算 χ2= 可知(ad-bc)2 越大, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 则计算出的统计量的值也越大,而统计量越大,说明(ad-bc)2 越大,故选 C. 4.根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有( 嗜酒 患肝病 未患肝病 总计 A.90% C.97.5% [答案] D n?ad-bc?2 [解析] 由 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 得其观测值 9 965×?7 775×49-2 099×42?2 k= ≈56.632>10.828. 7 817×2 148×9 874×91 故有 99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系,答案选 D. 5.为了研究性格和血型的关系,抽查 80 人实验,血型和性格情况如下:O 型或 A 型 者是内向型的有 18 人,外向型的有 22 人,B 型或 AB 型是内向型的有 12 人,是外向型的 有 28 人,则有多大的把握认为性格与血型有关系( P(χ≥k0) k0 A.99.9% B.99% C.没有充分的证据显示有关 D.1% [答案] C [解析] O 型或 A 型 外向 内向 22 18 B 型或 AB 型 28 12 总计 50 30 0.5 0.455 0.10 2.706 ) 0.010 6.635 0.001 10.828 7 775 2 099 9 874 不嗜酒 42 49 91 B.95% D.99.9% 总计 7 817 2 148 9 965 )

总计 χ2= 关. 二、填空题

40

40

80

n?n11n22-n12n21?2 80×?22×12-28×18?2 = ≈1.92<2.706,∴没有充分的证据显示有 50×30×40×40 50×30×40×40

6.在一次打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 1671 人,经过计算得 χ2=27.63,根据 这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ____________ 的.填 (“有关”或“无 关”) [答案] 有关 [解析] ∵27.63>6.635 ∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大,我们可以有 99%的把握这么认为. 7. 为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系, 调查者随机调查了 89 名小学生 的情况,得到的数据如下表(单位:人): 吃零食情况 性别 男 女 总计 喜欢吃零食 24 8 32 不喜欢吃零食 31 26 57 总计 55 34 89

根据上述数据,得出 χ2≈________. [答案] 3.689 89×?24×26-31×8?2 [解析] χ2= ≈3.689. 55×34×32×57 三、解答题 8.在某医院,因为患心脏病而住院的 655 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中, 有 175 人秃顶. 根据以上数据判断男性病人的秃 顶是否与患心脏病有关. [解析] 问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关.计算得到下表(单位:人) 患心脏病情况 是否秃顶 秃顶 不秃顶 总计 患心脏病 214 451 665 未患心脏病 175 597 772 总计 389 1048 1437

1437×?214×597-175×451?2 由公式计算得 χ2= ≈16.373. 389×1048×665×772 因为 16.373>6.635,所以有 99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关.

9.为检验回答一个问题的对错是否和性别有关,有人作了一个调查,其中女生人数是 1 5 2 男生人数的 ,男生答对人数占男生人数的 ,女生答错人数占女生人数的 . 2 6 3 (1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则男生至少有多少人? (2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则男生至多有多少人? [分析] 若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,说明 χ2>6.635;没有充分的 证据显示回答结果的对错和性别有关,说明 χ2≤2.706.设出男生人数,并且它分别表示各类 别人数,代入 χ2 的计算公式,建立不等式求解即可. [解析] 设男生人数为 x,依题意可得 2×2 列联表如下: 答对 男生 女生 总计 5x 6 x 6 x 答错 x 6 x 3 x 2 总计 x x 2 3x 2

(1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则 χ2>6.635, 3x 5x x x x 2 · ? ·- ·? 2 6 3 66 3x 由χ = = >6.635,解得 x>17.693. xx 8 x··· x 22
2

x x x 因为 , , 为整数,所以若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则男生至 2 6 3 少有 18 人. (2)没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则 χ2≤3.841. 3x 5x x x x 2 · ? ·- ·? 2 6 3 66 3x 由 χ 2= = ≤2.706, xx 8 x··· x 22 解得 x≤7.216. x x x 因为 , , 为整数,所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则男生 2 3 6 至多有 6 人. [点评] 本题是逆向型思维问题,即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已 知相关性求表中的字母数据问题, 同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题, 解答时要 注意理解“至少”“至多”的含义,充分建立不等式(组)来解决. 10.为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做实验,将 这 200 只家兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B. (1)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率;

(2)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位:mm2) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 30 [65,70) 40 [70,75) 20 [75,80) 10

表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 [60,65) 10 [65,70) 25 [70,75) 20 [75,80) 30 [80,85) 15

①完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

②完成下面 2×2 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3: 疱疹面积小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计 n?ad-bc?2 附:χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 a= c= 疱疹面积不小于 70 mm2 b= d= n= 合计

[解析] 本小题考查古典概型、组合数公式、频率分布直方图、独立性检验及 2×2 列 联表等统计学知识. 解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用,需用到组合数公式.(2)绘制频率分布直方

图,并从图中观察出中位数进行比较,(3)从频率分布表中读取数值填制 2×2 列联表并计算 χ2 与临界值比较,说明是否有关.
99 2C198 100 解:(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 p= 100 = . C200 199

(2)①

可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间,而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间,所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱 疹面积的中位数. ②表 3: 疱疹面积小于 70 mm2 注射药物 A 注射药物 B 合计
2

疱疹面积不小于 70 mm2 b=30 d=65 95

合计 100 100 n=200

a=70 c=35 105

200×?70×65-35×30?2 χ= ≈24.56, 100×100×105×95 由于 χ2>10.828,所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后 的疱疹面积有差异”. [点评] 本题比较新颖,将统计学与古典概型、组合联系在一起,难度不大,但考查知 识全面,而且还需要一定的识图表能力,是今年命题一热点方向.


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