浙江省瓯海区三溪中学高中数学人教版必修二第三章 直线与方程教案

导学目标: 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角 和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种 形式,了解斜截式与一次函数的关系. 自主梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按__________方 向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规 定它的倾斜角为__________. (2)倾斜角的范围为________________. (3)倾斜角与斜率的关系:α ≠90°时,k=________,倾斜角是90°的直线斜率________. (4)过两点的直线的斜率公式: 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=_____________________. 2.直线方程的五种基本形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x=x0 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x=x1 (x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 自我检测 1.若 A(-2,3),B(3,-2),C 三点共线,则 m 的值为________. 2.直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,-1),则直线 l 的斜率为_______________________________________________________ . 3.下列四个命题中,假命题是________(填序号). ①经过定点 P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示; ②经过两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表 示; ③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程+=1表示; ④经过点 Q(0,b)的直线都可以表示为 y=kx+b. 4.如果 A·C<0,且 B·C<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过第________象限. 5 .已知直线 l 的方向向量与向量 a = (1,2) 垂直,且直线 l 过点 A(1,1) ,则直线 l 的方程为 ______________. 探究点一 例1 倾斜角与斜率 已知两点 A(-1,-5)、B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求 l 的斜率. 变式迁移1 直线 xsin α -y+1=0的倾斜角的变化范围是______________. 探究点二 直线的方程 例2 过点 M(0,1)作直线,使它被两直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被 M 所平分,求此直线方程. 变式迁移2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的2倍. 变式迁移3 为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA 内部有一文物 保护区不能占用,经测量 AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大? 数形结合思想 2 例 (14分)已知实数 x,y 满足 y=x -2x+2(-1≤x≤1). 试求的最大值与最小值. 【答题模板】 解 由的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x,y)的直线的斜率 k, [4分] 由图可知: kPA≤k≤kPB,由已知可得:A(1,1),B(-1,5), ∴≤k≤8,[10分] 故的最大值为8,最小值为.[14分] 【突破思维障碍】 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义,借助数形结合,将求最值问题转化为求斜率取 值范围问题,简化了运算过程,收到事半功倍的效果. 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的范围为0°≤α <180°,熟记斜率公式 k =,该公式与两 点顺序无关.已知两点坐标(x1≠x2),根据该公式可以求出经过两点的直线斜率,而 x1=x2,y1≠y2时,直 线斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°. 2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式=求直线方程,但都可以写成(x2- x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式. 直线方程的点斜式、 斜截式、 两点式、 截距式都可以化成一般式, 但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式. 3.使用直线方程时,一定要注意限制条件以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件是直线必须有 斜率,截距式的使用条件是截距存在且不为零,两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直. 课后练习 (满分:90分) 一、填空题(每小题6分,共48分) 2 1 . 已 知 直 线 l 经 过 A(2,1) 、 B(1 , m ) (m∈R) 两 点 , 那 么 直 线 l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 __________________. 2.若直线 l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ________. x y 3.点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2 +4 的最小值是________. 4.点 A(a+b,ab)在第一象限内,则直线 bx+ay-ab=0一定不经过第________象限. 5.经过点 P(2,-1),且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的2倍的直线 l 的方程为________. 2 2 2, 6.过两点 A(m +2,m -3),B(3-m-m

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