2.13-1 函数定义域求法总结讲义

函数定义域求法总结
函数定义域求法的总结 若函数 y=f(u)的定义域是 B,u=g(x)的定义域是 A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义 域是 D={x|x∈A,且 g(x)∈B} 综合考虑各部分的 x 的取值范围,取他们的交集。 求函数的定义域主要应考虑以下几点: ⑴当为整式或奇次根式时,R; ⑵当为偶次根式时,被开方数不小于 0(即≥0) ; ⑶当为分式时,分母不为 0;当分母是偶次根式时,被开方数大于 0; ⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为 0(如,中) 。 ⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 它的定义域应是使各部分都有 意义的自变量的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。 ⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 ⑺由实际问题建立的函数, 除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对 自变量的要求 ⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论, 并要注意函数的定义域为非空集合。 ⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于 1。 ⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。 类型一:f(x)是整式 F(x)=2x F(x)= —3x+2 F(x)=2x2+x — 1 如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R . 类型二:f(x)是分式

y?

1 1? | x |

y?

1 x2 ? x ? 2

如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合

类型三:f(x)根式

y ? 3- x
f(x) ? 3 x 2 ? 2x - 8

F(x)=

2? x x ?1

如果 f(x)是 偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于 0 的实数的 集合. 如果 f(x)是 奇次根式,那么函数的定义域根号内式子有意义的数的集合 类型四:f(x)是代数式的 0 次

f ( x) ? ( x 2 ? x ? 2)0
如果 f(x)为代数式的 0 次 ,那么函数的定义域是使代数式不等于 0 的实数的集 合.

类型五:f(x)是组合式

?x ; 2 x 2 ? 3x ? 2 3 (3) y ? ; 1? 1? x (1) y ?

(2)y ? x ? 1? 1 ? x ; (4)y ? x 2 ? 3 ? 5 ? x .

如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合.(即求各部分集合的交集) 类型六:考虑 f(x)的实际意义 某种笔记本每个 5 元,买 x 个笔记本需要 y(元) ,试求函数解析式并写出自变 量的取值范围如果 f(x)实际问题中的自变量取值,需要考虑实际意义。 .类型七:复合函数求定义域的几种题型

题型(一):已知f ( x)的定义域, 求f [ g ( x)]的定义域
例 1.若f ( x)的定义域是[0, 2], 求f (2 x ?1)的定义域

解: 由题意知:

0 ? 2x ?1 ? 2

?

1 3 ? x? 2 2

故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 {x

1 3 ?x? } 2 2

题型(二):已知f ? ? g ? x ?? ? 的定义域, 求f ( x)的定义域

例2 :已知f ? 2x ?1?的定义域(?1,5], 求f ( x)的定义域
解: 由题意知:

? 1 ? x ? 5 ? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

?? 3, 9? ? f ( x)的定义域为

函数作为高中数学的主线,贯穿于高中数学的始终.函数的定义域是构成函数 的三大要素之一,是函数的灵魂. 函数的定义域在函数的概念中指函数对应关系 中的原象的集合,即自变量 x 的取值范围.研究函数时首先要考虑定义域,忽视定义 域往往会导致错误.本文主要介绍函数定义域求法的几个类型. 一、求解一般函数的定义域 如果函数解析式是由一些基本函数通过四则运算得到的,那么它的定义域为 各基本函数定义域的交集. 例1 求下列函数的定义域: (1)
y? 1 ? x0 ; 1? x

(2)

y?

x?2 ? 4? x . x ?3

分析 :对于用解析式表示的函数 , 如果没有给出定义域,那么就认为函数的定 义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.

?x ?1 ? 0 解: (1) 根据题意,由不等式组 ? ?x ? 0

? x ? ?1 解得 ? ?x ? 0

因此,函数的定义域为 ? x x ? ?1, 且x ? 0? .
?x ? 2 ? 0 ? (2) 根据题意,由不等式组 ? x ? 3 ? 0 ?4 ? x ? 0 ?

解得 2 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,

因此,函数的定义域为 ? x 2 ? x ? 3或3 ? x ? 4? . 点评:由函数解析式求函数定义域时,主要依据是:分母不为零;偶次根式中被 开方数大于等于零;零次幂的底数不能为零等.

二、求复合函数的定义域 1. 已知 y ? f ? x? 的定义域是 A , 求 y ? f ? g ( x)? 的定义域的方法是 : 解不等式
g ( x) ? A ,求出 x 的范围.

2.已知 y ? f ? g ( x)? 的定义域是 A ,求 y ? f ? x ? 的定义域的方法是: x ? A 时,求
g ( x) 的范围(即 y ? g ( x) 的值域).

例2

已知函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 ?1, 4? ,求函数 y ? f (3x) 的定义域.

解: 由函数 y ? f (2 x ? 1) 的定义域为 ?1, 4? , 可得 1 ? x ? 4 ,则 3 ? 2 x ? 1 ? 9 , 所以函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?3,9? . 由 3 ? 3x ? 9 , 解得 1 ? x ? 3 , 所以函数 y ? f (3x) 的定义域为 ?1,3? . 点评:在复合函数的定义域中 ,要注意求一个函数的定义域一定是求它的自 变量 x 本身的取值范围,并非其他形式,同时还要注意函数 y ? f ? x ? 中的 x 与函数

y ? f ? g ( x)? 中的 g ( x) 取值等价.
三、求实际应用问题的定义域 对于实际问题或几何问题求定义域,除要考虑函数的解析式有意义外,还要考 虑使实际问题或几何问题有意义.

例 3 某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为 50 米,求矩形 的面积 S 关于矩形长 x 的解析式,并写出定义域. 解: 设矩形长为 x 米,则宽为 (25 ? x) 米, 由题意得 S ? x(25 ? x) = ? x 2 ? 25x .

?x ? 0 又? ?25 ? x ? 0

解得 0 ? x ? 25 ,

故所求函数解析式为 S ? ? x 2 ? 25x ( 0 ? x ? 25 ). 点评:由实际问题确定的函数 , 不仅要确定函数的解析式 ,同时要求写出函数 的定义域,一般情况下,必须注意函数定义域的取值范围都要受实际问题或几何问 题的约束. 总之,在研究函数问题时,必须牢固树立定义域优先原则 ,正确求取定义域,这 样,不仅是解题程序的需要,同时可以避免许多错误,简化解题过程.


相关文档

函数定义域、值域求法总结预习资料
1、函数定义域、值域求法总结
专题一:函数定义域求法总结
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
专题一:函数定义域求法专题总结
1、函数定义域、值域求法总结1
11 函数定义域 值域求法总结1
2015届高考数学一轮复习讲义:第二章_2[1].2_函数的定义域、值域及函数的解析式
第一讲和第二讲 函数定义域和值域的求法总结
2013届高考数学一轮复习讲义:第二章 2[1].2 函数的定义域、值域及函数的解析式
电脑版