【状元360】高考数学一轮复习 1.5 四种命题及其关系课件 理_图文

1.四种命题 可以判断真假的陈述句叫做命 用语言、符号或式子表达的_____________ 原命题 、________ 逆命题 、________ 否命题 、 逆否命题 题.命题有________ ________四种形式. 其表示形式如下: q,则 p ; 原命题:若p,则q;逆命题:若 __________ 綈 p,则綈 q ;逆否命题: 若 綈 q,则綈 p 否命题:若 ________________ ______________. 逆否命题 是等价的,它们同为真命题或同为 一个命题与它的__________ 假命题,因此我们常常用反证法来证明命题. 2.四种命题之间的相互关系: 考点一 判断命题及命题的真假 示范1 判断下列语句是否是命题,若不是,说明理由,若 是,判断命题的真假:(1)10>6;(2)5 是 15 的约数;(3)0.9 是整 数;(4)5 是 30 的约数吗?(5)y>8;(6)等边三角形是等腰三角形. 分析 判断是否是命题的关键在于能不能判断其真假. 解析 ①是命题,是真命题; ②是命题,是真命题; ③是命题,是假命题; ④不是命题; ⑤不是命题; ⑥是命题;是真命题. 【点评】一般地,祈使句、一般疑问句、感叹句都不是命 题,如④;与命题相关的概念是开语句,如⑤. 展示1 判断下列语句,哪些是命题?若是命题,指出是真 命题,还是假命题. (1)空集是任何一个非空集合的真子集; (2)三角函数是周期函数吗? (3)若 x∈R,则 x2+4x+7>0; (4)指数函数的图象真漂亮! 【答案】(1)是命题,是真命题; (2)是疑问句,不是命题; (3)是命题,是真命题; (4)不是命题. 【解析】 (2)是一般疑问句,不可判断真假,不是命题; (4)是感叹句,不是命题. 方法点拨:命题的概念有两个要素,即“陈述句”和“可 以判断真假”.①一般来说,疑问句、祈使句和感叹句都不是 命题,如“y=x2,x∈R 是偶函数吗?”“但愿每一个三次方程 都有 3 个实数根.”“函数在生活中应用真广泛啊!”等都不 是命题;②一个陈述句可以判断真假即可,不是说判断为真的 语句才是命题,如“5>7”虽然是错的,但仍是命题且是假命题. 考点二 命题及其相互关系 示范2 设原命题是“当 a>b>0,x>0,y>0 时,若 x>y, 则 ax>by”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别证 明它们的真假. 分析 按四种命题的定义形式进行写出. 解析 ①逆命题:当 a>b>0,x>0,y>0 时,若 ax>by, 则 x>y.此命题为假.举出反例即可证明,例如取 a=3,b=1, x=2,y=4,则满足 a>b>0,x>0,y>0,ax>by,但 x<y. ②否命题:当 a>b>0,x>0,y>0 时,若 x≤y, 则 ax≤by. 此命题为假.因为它的真假与逆命题的真假相同. ③逆否命题: 当 a>b>0, x>0, y>0 时, 若 ax≤by, 则 x≤y. 此命题为真.证明可以用反证法. 假设 x≤y 不成立,则 x>y, ∵a>0,∴ax>ay. 又 a>b 且 y>0, ∴ay>by, ∴ax>by, 这与已知条件 ax≤by 矛盾,∴x≤y 成立. 【点评】若一个命题有大前提条件,则写其他命题时应该 保留.证明一个命题为假时,只须用特殊值法,举出反例即可.证 明一个命题为真时,必须严格推理,有时可以用反证法,或者 利用原命题与逆否命题等价.本题证明逆否命题为真时,可以先 证原命题为真. 展示2 有下列四个命题: ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A?B”的逆否命题. 其中是真命题的是__________(填上你认为正确的命题的序 号). 【答案】①②③ 【解析】①的逆命题:若 x,y 互为倒数,则 xy=1,是真 命题; ②的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题; ③的逆否命题:若 x2-2x+m=0 无实根,则 m>1,是真命 题; ④的逆否命题:若 A B≠?时,满足 A B,则 A∩B≠B,假命题.当 A≠?, B,但 A∩B=B. 方法点拨:由一命题作为原命题写出其他三种命题,可以 按相应命题的形式进行,注意有大前提条件的条件应该保留在 条件中,四种命题的真假性判断,可以利用命题的等价关系来 判断,原命题与它的逆否命题是等价的.要判断一个命题是假命 题,只要举反例即可. 考点三 等价命题的应用 示范3 判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2 +(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆否命题的真 假. 分析 命题的真假可以直接判断,也可利用逆否命题来间接 判断. 解析 法一 原命题的逆否命题为 已知 a、x 为实数,若 a<1, 则关于 x 的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集为空 集.判断真假如下: 抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为 a<1,所以 4a-7<0. 即抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空 集.故原命题的逆否命题为真. 法二 先判断原命题的真假. 因为 a、 x 为实数, 且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空, 7 所以 Δ=(2a+1) -4(a +2)≥0,即 4a-7≥0,解得 a≥4. 7 因为 a≥4,所以 a≥1,所以原命题为真. 2 2 又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真. 法三 集. 利用集合的包含关系求

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