课堂新坐标2016


阶 段 一

阶 段 三

2.2

绝对值不等式的解法
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.理解绝对值的几何意义,掌握去掉绝对值的方法.(重点) 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(c>0)(重点、关键点)

[基础· 初探] 教材整理 1 含有一个绝对值不等式的解法

阅读教材 P8~P9“思考交流”以上部分,完成下列问题. 1.绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} a=0 ? a<0 ? R

{x|x>a,或 x<-a} {x∈R,且 x≠0}

2.|ax+b|≤c 与|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c? -c≤ax+b≤c ; . (2)|ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)|x|<a 的解集是(-a,a).( ) )

(2)不等式|x-2|≥3 的解集是(-∞,-1]∪[5,+∞).( (3)若|x-a|<2 的解集是(-1,3)时,a 的值为 2.( )

【解析】 (2)√ (3)×

(1)×

当 a≤0 时,|x|<a 的解集为?.

由|x-2|≥3,得 x-2≥3 或 x-2≤-3,即 x≥5 或 x≤-1. 若|x-a|<2 的解集为(-1,3)时,-1 和 3 是|x-a|=2 的根,

? ?|-1-a|=2, 即? ? ?|3-a|=2, ? ?a=1或-3, 解得? ? ?a=1或5,

故 a=1.

【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理 2

|x-a|+|x-b|≥c 与|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法

阅读教材 P8~P9“思考交流”以上部分,完成下列问题. 1.利用绝对值不等式的几何意义求解. 2.利用 零点分段法求解. 3.构造函数,利用 函数的图象求解.

填空: (1)|x-4|+|x-2|>1 的解集为________. (2)若 f(x)=|x-a|+|x+b|的最小值为 3,当 a<f(x)恒成立时,a 的取值范围是 ________. (3)|x-3|>|x+1|的解集为________.

【解析】 (1)∵|x-4|+|x-2|≥|4-2|=2>1, ∴不等式的解集为 R. (2)由条件可知,当 a<f(x)恒成立时,a<[f(x)]min,即 a<3. (3)由原不等式得(x-3)2>(x+1)2,整理得 x<1.
【答案】 (1)R (2)a<3 (3)(-∞,1)

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

[小组合作型]
|ax+b|≤c与|ax+b|≥c型不等式的解法

解下列不等式: (1)1<|x-2|≤3; (2)|2x+5|>7+x.

【精彩点拨】

(1)可利用公式转化为|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|<c(c>0)型不等

式后逐一求解,也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号,还可用平 方法转化为不含绝对值的不等式. (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.

【自主解答】
? ?x<1或x>3, ? ? ?-1≤x≤5.

? ?|x-2|>1, (1) 法 一 : 原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组 ? ? ?|x-2|≤3,



解得-1≤x<1 或 3<x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}.

法二:原不等式可转化为:
? ?x-2≥0, ①? ? ?1<x-2≤3 ? ?x-2<0, 或 ②? ? ?1<-?x-2?≤3,

由①得 3<x≤5,由②得-1≤x<1, 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}.

法三:原不等式的解集就是 1<(x-2)2≤9 的解集,
2 ? ??x-2? ≤9, 即? 2 ? ? x - 2 ? >1, ?

? ?-1≤x≤5, 解得? ? ?x<1或x>3.

所以-1≤x<1 或 3<x≤5. 所以原不等式的解集是{x|-1≤x<1 或 3<x≤5}. (2)由不等式|2x+5|>7+x, 可得 2x+5>7+x 或 2x+5<-(7+x), 整理得 x>2 或 x<-4. 所以原不等式的解集是{x|x<-4 或 x>2}.

1.形如 a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式的简单解法是利用等价命题法,即 a<|f(x)|<b(0<a<b)?a<|f(x)|<b 或-b<f(x)<-a. 2.|f(x)|>g(x)和|f(x)|<g(x)型不等式的解法是将 f(x)看做一个整体,g(x)看做一 个常数,即可化为 f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x)和-g(x)<f(x)<g(x)求解. 3.形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义,即 |f(x)|>f(x)?f(x)<0,|f(x)|<f(x)?x∈?.

[再练一题] 1.解不等式|x2-x+2|>x2-3x-4. 【导学号:94910007】

【解】

∵x

2

? 1?2 7 -x+2=?x-2? +4>0, ? ?

∴|x2-x+2|=x2-x+2. 原不等式等价于 x2-x+2>x2-3x-4, 解得 x>-3. ∴原不等式的解集为{x|x>-3}.

|x-a|±|x-b|≥c(≤c) 型不等式的解法

解不等式|x+1|+|x-1|≥3.

【精彩点拨】 本题考查|x-a|+|x-b|≥c 型含两个绝对值的不等式的解法, 解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解,也可用零点分区间讨 论法求解,或者用图象法,利用图形分析求解.

【自主解答】

法一:如图所示,设数轴上与-1,1 对应的点分别为 A,B,

那么 A,B 两点的距离和为 2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在 A 点左侧有一点 A1,到 A,B 两点的距离和为 3,A1 对应数轴上的 x.

3 ∴-1-x+1-x=3,得 x=-2. 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3,B1 对应数轴上的 x,

∴x-1+x-(-1)=3. 3 ∴x=2. 从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距离之和都小于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的距离之和都大于 3.
? ? 3? ?3 所以原不等式的解集是?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ?

法二:当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3, 3 解得 x≤-2. 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3, 即 2≥3,不成立,无解. 3 当 x≥1 时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3,所以 x≥2.
? ? 3 3? 综上所述,原不等式的解集为?x?x≤-2或x≥2? ? ? ?

.

法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. ?-2x-3,x≤-1, ? 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=?-1,-1<x<1, ?2x-3,x≥1. ? 作出函数的图象,如图所示: 3 3 函数的零点是-2,2.

3 3 从图象可知,当 x≤-2或 x≥2时,y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0.
? ? 3? ?3 解得原不等式的解集为?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ?

这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法,解法一中关键是 找到特殊点,解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,解法三则要准 确画出函数图象,并准确找出零点.

[再练一题] 2.解不等式|2x-1|<|x|+1.

【解】 ①当 x<0 时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得 x>0,与 x <0 矛盾,此时无解; 1 ②当 0≤x<2时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得 x>0, 1 1 又∵0≤x<2,从而有 0<x<2; 1 ③当 x≥2时,原不等式化为 2x-1<x+1,∴x<2. 1 因此2≤x<2. 综合①②③知,原不等式的解集是{x|0<x<2}.

[探究共研型]

含参数的不等式
探究 1 函数 f(x)=|x-a|+|x-b|的最小值是什么?当|a-b|>c 时, 不等式|x -a|+|x-b|>c 的解集是什么?

【提示】 因为|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|. ∴当|a-b|>c 时,不等式|x-a|+|x-b|>c 的解集为 R. 事实上,对于一切 x∈R,有|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|>c.

探究 2 对于 a≥f(x)在 R 上恒成立求 a 的取值范围时,如何转化求解?对 于 a≤f(x)呢?对于 a>f(x)的解集为?, 求 a 的取值范围时如何转化求解, 对于 a<f(x) 呢?

【提示】 a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max. a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min. a>f(x)解集为??a≤f(x)恒成立 a<f(x)解集为??a≥f(x)恒成立.

探究 3 对于 a≥f(x)有解求 a 的范围时,如何转化求解?a≤f(x)有解呢?

【提示】 a≥f(x)有解?a≥[f(x)]min. a≤f(x)有解?a≤[f(x)]max.

已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
【精彩点拨】 (1)解 f(x)≤3,由集合相等,求 a. (2)求 y=f(x)+f(x+5)的最小值,确定 m 的范围.

【自主解答】

(1)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3,

解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},
? ?a-3=-1, 所以? ? ?a+3=5,

解得 a=2.

(2)法一 由(1)知 a=2,此时 f(x)=|x-2|, 设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|, ?-2x-1,x<-3, ? 于是 g(x)=?5,-3≤x≤2, ?2x+1,x>2. ? 利用 g(x)的单调性,易知 g(x)的最小值为 5. 因此 g(x)=f(x)+f(x+5)≥m 对 x∈R 恒成立, 知实数 m 的取值范围是(-∞,5].

法二

当 a=2 时,f(x)=|x-2|.

设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立),得 g(x)的最小值为 5. 因此,若 g(x)=f(x)+f(x+5)≥m 恒成立, 应有实数 m 的取值范围是(-∞,5].

1.第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类 讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件). 2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动 向,解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.

[再练一题] 3.若关于 x 的不等式|x+2|+|x-1|≤a 的解集为?,求实数 a 的取值范围.

【解】

法一:令 y1=|x+2|+|x-1|,y2=a.

?2x+1,x≥1, ? ∴y1=?3,-2≤x<1, ?-2x-1,x<-2. ?

y1,y2 的图象如图所示.由图可知,当 a<3 时, |x+2|+|x-1|≤a 的解集为?.

法二:|x+2|+|x-1|表示数轴上的点 A(x)到 B(-2)和 C(1)两点的距离之和, 而|BC|=3, 所以 A 到 B,C 两点的距离之和的最小值为 3. 即对一切 x∈R,总有|x+2|+|x-1|≥3. 因为|x+2|+|x-1|≤a 的解集为?, 所以只需 a<3 即可, 所以 a 的取值范围是 a<3.

[构建· 体系]

1.不等式|x|· (1-2x)>0 的解集是(
? 1? A.?-∞,2? ? ? ?1 ? C.?2,+∞? ? ?

)

? 1? B.(-∞,0)∪?0,2? ? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

【解析】

? ?x≠0, 原不等式等价于? ? ?1-2x>0,

1 解得 x<2且 x≠0, 即
? 1? x∈(-∞,0)∪?0,2?. ? ?

【答案】 B

2.不等式|x-2|>x-2 的解集是( A.(-∞,2) C.(2,+∞)

)

B.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

【解析】 原不等式同解于 x-2<0,即 x<2. 【答案】 A

3.已知集合 A={x∈R||x-1|<2},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的 和等于________. 【解析】 A={x∈R||x-1|<2}={x∈R|-1<x<3}.集合 A 中包含的整数有 0,1,2,故 A∩Z={0,1,2}.

【答案】 3

4.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________. 【导学号:94910008】 【解析】 由于||x-2|-1|≤1,即-1≤|x-2|-1≤1, 即|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,所以 0≤x≤4.

【答案】 [0,4]

5.设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

【解】

(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2.

由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}. (2)由 f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0.
? ?x≥a, 此不等式化为不等式组? ? ?x-a+3x≤0 ? ? x < a, 或? ? ?a-x+3x≤0,

? ? ?x≥a, ?x<a, 即? a 或? a x≤ x≤-2. ? ? ? 4 ? 因为
? ? ? a ? ? a>0,所以不等式组的解集为 x x≤-2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

a 由题设可得-2=-1,故 a=2.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________


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