河北省冀州市2016_2017学年高二数学上学期期中试题A卷文

16-17 学年上学期期中考试高二年级数学试题(文)
考试时间 120 分钟 试题分数 150 分 一、选择题:(本题共 13 小题,每题 4 分,共 52 分。每题的四个选项中只有一个是正确的) 1.已知集合 A ? {?1,0,1}, B ? {x | x ?| a ? 1 |, a ? A} ,则 A ? B 中的元素的个数为( )

A .2

B .4

C .6

D .8

2 若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是( x ?1



C. [0,1) ? (1, 4]

D. (0,1) ( )

3.已知实数 x , y 满足 x ? 1, y ? 1, 且 A. 最大值 e

1 1 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有 4 4
C.最小值 e ( )

B.最大值 e

D.最小值 e

4. 函数 f ?x ? = log1 ( x 2 ? 9) 的单调递增区间为
2

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)

C.(3,+∞)

D.(-∞,-3)

1 1 1 1 5.如图,给出的是计算 1+ 3 + 5 + ? + 99 + 101 的值
的一个程序框图,判断框内应填入的条件是( A.i<101? C.i≤101? B.i>101? D.i≥101? )

6. 某商场为了了解毛衣的月销售量 y (件)与月平均气温 x (℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的月 销售量与当 月平均气温,其数据如下表:

月平均气温 x℃ 月销售量 y (件)

17 24

13 33

8 40

2 55

? ? ?2 ,气象部门预测下个月的平均气温约为 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 由表中数据算出线性回归方程 y
6 ? C ,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为(
A.58 件 B.40 件 C.38 件 ) D.46 件 )

? ? 7.已知向量 a, b 满足: | a |? 1,b ? (1, ? 3) ,且 a ? a ? b ,则 a 与 b 的夹角为(
A . 60? B . 90?

? ?


C . 120?

D . 150?

2 2 8.下列有关命题:①设 m ? R ,命题“若 a ? b ,则 am ? bm ”的逆否命题为假命题;②命题

p : ?? , ? ? R,

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan?





?p : ?? , ? ? R



tan?? ? ? ? ? tan? ? tan? ;③设 a , b 为空间任意两条直线,则“ a//b ”是“ a 与 b 没有公共点”
1

的充要条 件.其中正确的是

(

)

A .①②

B .②③

C .①③

D .①②③

9.已知某几何体的正(主)视图,侧(左)视图和俯视图 均为斜边长为 2 的等腰直角三角形(如图 1 ),若该几何体 的顶点都在同一球面上,则此球的表面积为 ( )

A . 4?
10. “ ? ?

B . 3?

C . 2?

D .?

正(主)视图

侧(左)视图

?
2

”是“函数 f ?x ? ? cos x 与 ( )
俯视图

函数 g ?x ? ? sin?x ? ? ? 的图像重合”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

图1

11.“? ﹤1”是“数列 an ? n 2 - 2?n 为递增数列”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

12. 已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为( )

3 A. 6

B.
2

2 6
2

C.

2 3

2 D. 2
)

13.点 P(4,?2) 与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A.(x-2) +(y+1) =1 C.(x+4) +(y-2) =4
2 2 2 2

B.(x-2) +(y+1) =4 D. (x+2) +(y-1) =1 第 II 卷
2 2

2

2

二、填空题:(本题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 14. 直线 x ? y sin ? ?1 ? 0 ( ? ? R )的倾斜角范围是 。

15.

?x≤my+n 如下图,若由不等式组 ?x- 3y≥0 ?y≥0
__________.

( n>0 )确定的平面区域

的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在 x 轴上,则实数 m =

16. 已知 e1 、 e2 是夹角为 60 ? 的两个单位向量,则 a ? 2e1 ? e2 与 b ? ?3e1 ? 2e2 的夹角的正弦值 是 。

??

?? ?

?

? ? ? ? ?

?

? ?

?? ?

2

17 . 已 知 点 P(m, n) 是 直 线 为 。

2x ? y ? 5 ? 0

上的任意一点,则

m2 ? n2 的 最 小 值

三、解答题(本题共 7 小题,共 82 分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 18.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知向量 m ? b, 3a ,

??

?

?

?? ? ? n ? ? cos B,sin A? ,且 m // n .
(I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 a ? c 的值.

19. 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 例 数 列 , 且

1 1 a1 ? a2 ? 2( ? ) a1 a2



a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5 .

(Ⅰ) 求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设

1 2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .20.如图,将一副三角板拼接,使它们有公共 bn ? (an ? ) an

边 BC,若使两个三角形所 在的平面互相垂直,且∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°, BC=6. (1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求点 B 到平面 ACD 的距离.

2 2 21.设 x ? 2ax ? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程。

(1)若 a 是从0,1,2,3四个数个中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个 数,求方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]上任取一个数,b 是是从区间[0,2]上任取一个数,求方程有实根 的概率。

22.已知命题 p:在 x∈[1,2]时,不等式 x +ax-2>0 恒成立;

2

3

命题 q:函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? 2ax ? 3a) 是区间[1,+∞)上的减函数.若命题“p 或 q”是真命
3

题,求实数 a 的取值范围. 23. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在直线 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 24.已知长方形 ABCD 中, AD ? 2,AB ? 2 , E 为 AB 中点,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE ,所 得四棱锥 P ? BCDE 如图所示. (Ⅰ)若点 M 为 PC 中点,求证:BM∥平面 PDE; (Ⅱ)当平面 PDE ? 平面 BCDE 时,求四棱锥 P-BCDE 的体积; (Ⅲ)求证: DE ? PC .

高二年级数学期中答案(文) A:1-5 BBCDC B:1-5CDCBC 14. [ , ] 6-10 DCABA 6-10 BAACD 15. - 3 3 16. 11-13 ABA 11-13 ADA

? 3?
4 4

3 2

17.

5

? ?1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2 ? ? ?, ? ? a1 a1q ? n ?1 19 解:(Ⅰ)设公比为 q,则 an ? a1q .由已知有 ? ?a q 2 ? a q 3 ? a q 4 ? 64 ? 1 ? 1 ? 1 ? . ? 2 1 1 3 4 ? ? 1 ? a1q a1q a1q ? ?
? a12 q ? 2, ? 化简得 ? 2 6 ????????3 分 ? ? a1 q ? 64.
又 a1 ? 0, 故q ? 2, a1 ? 1 所以 an ? 2n?1 ?????????6 分

? 1? 1 1 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? ? an ? ? ? an ? 2 ? 2 ? 4 ? n ?1 ? 2 ??????8 分 an ? an 4 ?
4

2

因此 Tn ? 1 ? 4 ? ? ? 4n ?1 ? ?1 ?

?

?

? ?

1 1 ? 1 ? ? ? n?1 ? ? 2n ? ? 4n ? 41?n ? ? 2n ? 1 ?12 分 4 4 ? 3

20、(1)∵平面 BCD⊥平面 ABC,BD⊥BC,平面 BC D∩平面 ABC=BC ∴BD⊥平面 ABC,AC? 平面 ABC, ∴AC⊥BD,又 AC⊥AB,BD∩AB=B, ∴AC⊥平面 ABD 又 AC? 平面 ACD, ∴平面 ABD⊥平面 ACD. (2)
2 2 2 21 解:方程有实根的充要条件为: ? ? ? 2a ? ? 4b ? 0, 即a ? b . 2

( 1 )基本事件有12个,其中(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2, 1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)满足条件,则 P ?

9 3 ? . 12 4

?? a, b? | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2?, 满足题意的的区域为: ?? a, b? | 0 ? a ? 3,0 ? b ? 2, a ? b?,
(2 )试验的全部结果构成的区域为

1 3 ? 2 ? ?22 2 2 所以,所求概率为 P ? ? . ???12分 3? 2 3
22 解:∵x∈[1,2]时,不等式 x +ax-2>0 恒成立, ∴a>
2

2 ? x2 2 = -x 在 x∈[1,2]上恒成立, x x
2 -x,则 g(x)在[1,2]上是减函数, x

令 g(x)=

∴g(x)max=g(1)=1, ∴a>1.即若命题 p 真,则 a>1.

又∵函数 f(x)=log
2

(x -2ax+3a)是区间[1,+∞)上的减函数,
2

2

∴u(x)=x -2ax+3a 是[1,+∞)上的增函数,且 u(x)=x -2ax+3a>0 在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤1,u(1)>0,∴-1<a≤1, 即若命题 q 真,则-1<a≤1. 综上知,若命题“p 或 q”是真命题,则 a>-1.
5

23. 解:(1)由 ? y ? 2 x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为
? ?y ? x ?1

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4
-4 分

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D
2 2

M

为 (x,y) 则

x 2 ? (y ? 3)2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理
即:圆 C 和圆 D 有交点

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上
2

∴ 2 ?1 ?

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1

由 5a 2 ? 12a ? 8 ? 0 得 a ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? a ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0,

12 5
-------------12 分

? 12 ? ? 5? ?

24.(Ⅰ)取 DP 中点 F ,连接 EF , FM 因为在 ?PDC 中,点 F , M 分别是所在边的中点,所以 FM ? 又 EB ?

1 DC . 2

1 DC ,所以 FM ? EB , 2

所以 FEBM 是平行四边形,所以 BM ? EF , 又 EF ? 平面 PDE , BM ? 平面 PDE ,???????4 分 所以 BM ? 平面 PDE . 方法二: 取 DC 中点 N ,连接 MN,BN 在 ?PDC 中,点 N , M 分别是所在边的中点,所以 MN ? PD . 又 DN ? BE ,所以 DEBN 是平行四边形,所以 DE ? BN 因为 NM ? NB ? N , DP ? DE ? D, 所以平面 BMN ? 平面 EDP ????4 分 因为 BM ? 平面 BMN , 所以 BM ? 平面 PDE .

6

(Ⅱ)因为平面 PDE ? 平面 EBCD , 在 ?PDE 中,作 PO ? DE 于 O , 因为平面 PDE ? 平面 EBCD ? DE , 所以 PO ? 平面 EBCD . 在 ?PDE 中,计算可得 PO ?

6 3
?????8 分

1 1 1 6 3 ? 所以 VP ? BCDE ? Sh ? ? (1 ? 2) ? 2 ? . 3 3 2 3 3
(Ⅲ)在矩形 ABCD 中,连接 AC 交 DE 于 I , 因为 tan ?DEA ? 2, tan ?CAB ?

2 π ,所以 ?DEA ? ?CAB ? , 2 2

所以 DE ? AC ,???????11 分 所以在四棱锥 P ? EBCD 中, PI ? DE , CI ? DE , 又 PI ? CI ? I ,所以 DE ? 平面 POC . 因为 PC ? 平面 POC ,所以 DE ? PC . ????12 分

7


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