2018-2019学年高中数学人教A版必修4课件:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义_图文

第二章 平面向量 2.4 2.4.1 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义.(重点) 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.(重点) 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂 直的问题;掌握向量垂直的条件.(重点、难点) 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 1.向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积 已知条件 定义 记法 向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ |a||b|cos θ a与b的数量积(或内积)是数量_________ |a||b|cos θ a·b=___________ 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 (2)零向量与任意向量的数量积 零向量与任意向量的数量积为零 . 规定:______________________________ 2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 |b|cos θ ①向量b在a的方向上的投影为____________. |a|cos θ ②向量a在b的方向上的投影为____________. (2)数量积的几何意义 b在a的方向上的投影|b|cos θ 数量积a·b等于a的长度|a|与__________________________ 的乘积. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 3.向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量,它们的夹角为 θ. a· b=0. (1)a⊥b?______ (2)当 a∥b ? |a||b| ,当a,b同向时, ?______ 时,a· b=? -|a||b| ? ?________,当a,b反向时. |a|= a· a (3)a· a=|a|2 或___________. a· b |a||b| (4)cos θ=_________. ≤ (5)a· b______ |a||b|. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 4.向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); a· (λb) (结合律); λ(a· b) =________ (2)(λa)· b=________ a· c+b· c 分配律). (3)(a+b)· c=___________( 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 做一做 π (1)已知|a|=1, |b|=2, a 与 b 的夹角为3, 则 a· b=________. π 1 解析:a· b=|a||b|cos3=1×2×2=1. 答案:1 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 (2) 已知 |a| = 2 , |b| = 3 , a· b = 3 3 ,则 a 与 b 的夹角为 ________. a· b 3 3 3 解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|= =2, 2×3 π 所以 θ=6. π 答案:6 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 1.对数量积的理解 (1) 求 a , b 的数量积需知道三个量,即 | a | , | b | 及 a , b 的夹 角,这三个量有时并不是直接给出来的,需根据题意去巧妙求 解. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算,其结果不再 是向量,而是数量,它的符号由夹角确定,当夹角为锐角或 0°时,符号为正;当夹角为钝角或180°时,符号为负;当夹 角为直角时,其值为零. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 (3)两个向量a,b的数量积与代数中两个数a,b的乘积ab是 两码事,但表面看来又有点相似,因此要注意两个向量a,b的 数量积是记作 a·b,中间的实心小圆点不能省略,也不能把实 心小圆点用乘号“×”代替,写成a×b. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 2.要灵活掌握向量数量积的性质 (1)a⊥b?a· b=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由 垂直进行有关计算. (2)a· a=a2=|a|2 与|a|= |a|2= a2可用来求向量的模,以实 现实数运算向向量运算的相互转化. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 a· b (3)cos θ=|a||b|不仅可以用来直接计算两向量 a,b 的夹角, 也可用来求直线的夹角 (向量的夹角与向量所在直线的夹角有 区别),还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式,用于求参 数的值或范围. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元笔记探秘 学业达标测试 课时跟踪检测 平面向量数量积的基本运算 已知|a|=3,|b|=6,当:①a∥b,②a⊥b,③a与 b的夹角是60°时,分别求a·b. 思路点拨:解答本题可充分利用a·b=|a||b|cos θ,只要确 定好夹角θ的值即可解决. 数学 ·必修4(A) 课前自主预习 课堂互动探究 状元

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