【步步高】2015届高考数学(理科,广东)二轮专题复习配套课件:专题八 第2讲 坐标系与参数方程_图文

专题八 系列4选讲

第 2讲

坐标系与参数方程
主干知识梳理

热点分类突破
真题与押题

高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线

和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,
考 常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 .以极坐 情 解 标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式, 读 同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

主干知识梳理
1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴 作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度 单位.如图,设M是平面内的任意一点,它 的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
?ρ2=x2+y2 ?x=ρcos θ ? ? ,? y y = ρ sin θ ?tan θ= ?x≠0? ? x ?

.

2.直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的
方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; (3)直线过点M(b,π )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2

3.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 - r =0. 0

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π (3)当圆心位于 M(r, ),半径为 r:ρ=2rsin θ. 2

4.直线的参数方程 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
?x=x0+tcos α, ? (t 为参数). ?y=y0+tsin α

5.圆的参数方程 圆 心 在 点 M(x0 , y0) , 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为
?x=x0+rcos θ, ? (θ 为参数,0≤θ≤2π). ?y=y0+rsin θ

6.圆锥曲线的参数方程
?x=acos θ, x 2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y=bsin θ ?x=2pt2, (2)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt

热点分类突破
? 热点一 ? 热点二 极坐标与直角坐标的互化 参数方程与普通方程的互化

? 热点三

极坐标与参数方程的综合应用

热点一
例1

极坐标与直角坐标的互化

在以 O 为极点的极坐标系中,直线 l 与曲线 C 的极坐

π 标方程分别是 ρcos(θ+ )=3 2和 ρsin2θ=8cos θ,直线 l 与 4 曲线 C 交于点 A、B,则线段 AB 的长为________.

π π π 解析 ∵ρcos(θ+ )=ρcos θcos -ρsin θsin 4 4 4
2 2 = ρcos θ- ρsin θ=3 2, 2 2

∴直线l对应的直角坐标方程为x-y=6.

又∵ρsin2θ=8cos θ,
∴ρ2sin2θ=8ρcos θ. ∴曲线C对应的直角坐标方程是y2=8x.
? ?x-y=6 解方程组? 2 ? ?y =8x ? ?x=2 ,得? ? ?y=-4 ? ?x=18 或? ? ?y=12



所以A(2,-4),B(18,12),
所以 AB= ?18-2?2+[12-?-4?]2=16 2.
即线段 AB 的长为 16 2.
答案

16 2

(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所
思 维 (2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范 升 华 围,要注意转化的等价性.

在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.

变式训练1 (1) 在极坐标系 (ρ , θ)(0≤θ<2π) 中,曲线 ρ = 2sin θ 与 ρcos θ=-1的交点的极坐标为________. 解析 ρ=2sin θ代入ρcos θ=-1可得2sin θcos θ=-1,
3π 7π 即 2θ= 或 2θ= , 2 2
3π ? ?θ= , 4 解得? ? ?ρ= 2 7π ? ?θ= , 4 或? ? ?ρ=- 2.

3π 7π 又( 2, )与(- 2, )为同一点, 4 4

故二者可以任填一个.
3π 7π 答案 ( 2, )(填(- 2, )亦可) 4 4

(2)在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 2 C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=________. 2

解析 ρ( 2cos θ+sin θ)=1,
即 2ρcos θ+ρsin θ=1 对应的普通方程为 2x+y-1=0,

ρ=a(a>0)对应的普通方程为x2+y2=a2.
2 在 2x+y-1=0 中,令 y=0,得 x= . 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 2 2 将? ,0?代入 x +y =a 得 a= . 2 ? 2 ?

热点二
例2

参数方程与普通方程的互化

?x=4-2t, 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数), P是 ?y=t-2

x2 2 椭圆 +y =1 上的任意一点,则点 P 到直线 l 的距离的最大 4 值为________.
? ?x=4-2t, 的参数方程为? ? ?y=t-2

解析 由于直线 l

(t 为参数),

故直线l的普通方程为x+2y=0.

x2 2 因为 P 为椭圆 +y =1 上的任意一点, 4

故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.
因此点 P 到直线 l 的距离是 |2cos θ+2sin θ| 2 d= = 2 2 1 +2
? ? ? π? ? ? ?? 2?sin?θ+4 ?? ? ? ??

5

.

π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5 2 10 答案 5

参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,
思 常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等. 维 升 华 在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.

变式训练2
?x= 2cos t (2013· 广东)已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参 ?y= 2sin t

数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系, 则 l 的极坐标方程为________.

解析

? ?x= 由? ? ? y=

2cos t (t 为参数), 得曲线 C 的普通方程为 2sin t

x2+y2=2.

则在点(1,1)处的切线l的方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0. 又x=ρcos θ,y=ρsin θ,

∴l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-2=0.
答案 ρcos θ+ρsin θ-2=0

热点三
例 3

极坐标与参数方程的综合应用

在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

?x=2cos α, ? (α 为参数). ?y=2+2sin α

→ → M 是 C1 上的动点, P 点满足OP=2OM, 点 P 的轨迹为曲线 C2.

(1)C2的参数方程为________;

解析 设 P(x, y), 则由条件知
? ?x=2cos α, ?2 所以? ?y =2+2sin α, ? ?2

?x y? ? M?2,2? ?.由于 ? ?

M 点在 C1 上,

? ?x=4cos α, 即? ? ?y=4+4sin α.

从而

答案

? ?x=4cos α, C2 的参数方程为? ? ?y=4+4sin α. ? ?x=4cos α, ? (α 为参数) ? ?y=4+4sin α

(α 为参数)

(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 π 线 θ= 与 C1 的异于极点的交点为 A, 与 C2 的异于极点的交 3 点为 B,则|AB|=________.

解析 曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ, 曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.
π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3

π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.
答案 2 3

(1)曲线参数方程有很多优点: ①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示,变元只

有一个.特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处.
思 ? x=x0+tcos α 维 直线参数方程? ? (α 为倾斜角,t 为参数), ? 升 ?y=y0+tsin α 华

②很多参数都有实际意义,解决问题更方便.比如:

其中|t|=|PM|,P(x,y)为动点,M(x0,y0)为定点.

(2)求两点间距离时,用极坐标也比较方便,这两点
思 维 线时,用余弦定理求解.无论哪种情形,用数形结合 升 华 的方法易得解题思路.

与原点共线时,距离为|ρ1-ρ2|,这两点与原点不共

变式训练3
(1)(2013· 湖北 ) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为
? ?x=acos φ ? ? ?y=bsin φ

(φ 为参数,a>b>0),在极坐标系 (与直角坐标系 xOy

取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中, π 2 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin(θ+ )= m(m 为非零常 4 2 数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点, 且与圆 O 相切, 则椭圆 C 的离心率为________.

x2 y2 解析 椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1, a b

直线l的标准方程为x+y=m,圆O的方程为x2+y2=b2,
?|m| ? =b 由题意知? 2 ? 2 2 a - b =|m| ?



∴a2-b2=2b2,a2=3b2,
∴ e= c2 2= a 3b2-b2 2 = 3b 2 6 = . 3 3
答案 6 3

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴为极轴
? ?x= 1 , tan φ ? 建立极坐标系,曲线 C1 的参数方程为? 1 ? y= 2 ? tan φ ?

(φ 为参

数),曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ+sin θ)=1,若曲线 C1 与 C2 相交于 A、B 两点. ①|AB|的值为________; ②点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积为________.

解析

①由曲线 C1 的参数方程可得曲线 C1 的普通方程

为y=x2(x≠0), 由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x +y-1=0,
? ?x=-1- 2t, ? 2 则曲线 C2 的参数方程为? 2 ? y=2+ t ? ? 2

(t 为参数),

将其代入曲线 C1 的普通方程得 t2+ 2t-2=0,

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
则 t1+t2=- 2,t1t2=-2,
所以|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 10.

②由①可得|MA|· |MB|=|t1t2|=2.
答案 ① 10 ②2

本讲规律总结
1. 主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化, 在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题. 2.规律方法 方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程

化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程,有助于对
方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,

这是化归与转化思想的应用 .在涉及圆、椭圆的有关最值问
题时,若能将动点的坐标用参数表示出来,借助相应的参

数方程,可以有效地简化运算,从而提高解题的速度.

3.极坐标方程与普通方程互化核心公式
2 2 2 ? ρ = x + y ? ? ?x=ρcos θ ? ? , y ? tan θ= ?x≠0? ?y=ρsin θ ? x ?

.

4. 过 点 A(ρ0 , θ0) 倾 斜 角 为 α 的 直 线 方 程 为 ρ = ρ0sin?θ0-α? .特别地,①过点 A(a,0),垂直于极轴的直线 sin?θ-α? π l 的极坐标方程为 ρcos θ=a.②平行于极轴且过点 A(b, ) 2 的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=b.

5.圆心在点 A(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为 r2=ρ2+ρ2 0 -2ρρ0cos(θ-θ0).
? ?x=x0+tcos θ 6.重点掌握直线的参数方程? ? ?y=y0+tsin θ

(t 为参数), 理

解参数 t 的几何意义.

真题与押题

? 真题感悟 ? 押题精炼

1

2

真题感悟

π π 1.(2014· 陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρsin(θ- )=1 6 6 的距离是________.

π 解析 点(2, )化为直角坐标为( 3,1), 6 π 3 1 直线 ρsin(θ- )=1 化为 ρ( sin θ- cos θ)=1, 6 2 2
3 1 1 3 y- x=1, x- y+1=0, 2 2 2 2

1

2

真题感悟

1 3 点 ( 3 , 1) 到 直 线 x - y+1=0 的距离为 2 2
?1 ? ? × ?2 ? 3 ? 3- ×1+1? 2 ? =1. 12 32 ? ? +?- ? 2 2

答案 1

1

2

真题感悟

2.(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参
? ?x=1- 2t, ? 2 数方程为? 2 ? y=2+ t ? ? 2

(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2

=4x 相交于 A,B 两点,线段 AB 的长为________.

1

2

真题感悟

解析

? ?x=1- ? 将直线 l 的参数方程? ? y=2+ ? ?

2 t, 2 2 t 2

代入抛物线方程y2=4x,
? 得? ?2+ ? ? 2? 2? ?2 ? ? t? =4?1- t?, 2 ? 2 ? ?

1

2

真题感悟

解得 t1=0,t2=-8 2.
所以 AB=|t1-t2|=8 2.
答案 8 2

1

2

押题精练


?x=2cos α 1.在直角坐标系中圆 C 的参数方程为? ?y=2+2sin α

为参数),若以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立

ρ=4sin θ 极坐标系,则圆 C 的极坐标方程为__________. 解析 由参数方程消去α得圆C的方程为x2+(y-2)2=4,
将x=ρcos θ,y=ρsin θ,

代入得(ρcos θ)2+(ρsin θ-2)2=4,整理得ρ=4sin θ.

1

2

押题精练

2.已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处, 极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线 l 的极 坐标方程为 ρ= 数 α∈[0,2π).
? ?,点 π ? θ + 2sin? ? 4? ? ?

9

P(1+cos α,sin α),参

1

2

押题精练

(x-1)2+y2=1; (1)点P轨迹的直角坐标方程为_____________
解析
? ?x=1+cos α, 由? ? ?y=sin α,

得点P的轨迹方程(x-1)2+y2=1.

1

2

押题精练

4 2-1 (2)点P到直线l距离的最小值为________.
9 解析 由 ρ= ,得 ρ= , ? ? π? sin θ+cos θ ? 2sin?θ+ ? 4? ? 9

∴ρsin θ+ρcos θ=9.
∴曲线C的直角坐标方程为x+y=9.

圆(x-1)2+y2=1 的圆心(1,0)到直线 x+y=9 的距离为 4 2,

所以|PQ|min=4 2-1.


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