2016-2017学年高中数学阶段质量评估3新人教A版选修2-3资料

2016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 3 新人教 A 版选修 2-3
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.分析人的身高与体重的关系,可以用( A.残差分析 C.等高条形图 ) B.回归分析 D.独立性检验

解析: 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量,所以要用回归分析来解决. 答案: B 2.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些 样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是( A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点( x , y ) 解析: 线性回归直线必过样本点中心( x , y ),故选 D. 答案: D 3.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是( A.回归分析和独立性检验没有什么区别 B.回归分析是对两个变量准确关系的分析,而独立性检验是分析两个变量之间的不确 定关系 C.回归分析研究两个变量之间的相关关系,独立性检验是对两个变量是否具有某种关 系的一种检验 D.独立性检验可以 100%确定两个变量之间是否具有某种关系 解析: 回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析, 而相关关系是一种不确定 的关系, 通过回归分析可以确定两个变量之间具有的近似关系; 而独立性检验是对两个变量 之间是否具有某种关系的分析, 并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系, 但不 能 100%肯定这种关系.故选 C. 答案: C 4 .(2015·蚌埠市高二第二学期期末学业水平检测 ) 已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本中心为(4,5),则回归直线方程为(
∧ ∧

)

)

)

A.y=1.23x+4 B.y=1.23x+5
∧ ∧

C.y=1.23x+0.08

D.y=1.23x-2.15
1







解析: 设回归直线方程为y=bx+a,


由已知知b=1.23,
∧ ∧

即y=1.23x+a, 又回归直线过样本中心(4,5),


代入得a=0.08. 故选 C. 答案: C 5.对于回归分析,下列说法错误的是( )

A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定关系,那么因变量不能由自变量唯一确定 B.线性相关系数可以是正的,也可以是负的 C.回归分析中,如果 r =1,说明 x 与 y 之间完全相关 D.样本相关系数 r∈(-1,1) 解析: 由回归分析和 r 的意义可知选 D. 答案: D 6.甲、乙、丙、丁四个研究性学习小组分别对 x,y 两个变量的线性相关性做试验,并
∧ ∧ 2

用回归分析的方法求得相关系数 r 和残差平方和 Q(a,b)的值如下表: 甲 乙 0.89 102 丙 0.81 114 丁 0.79 118 )

r
∧ ∧

0.83 108

Q(a,b)

则四个小组的试验结果中,体现了两变量具有更强的线性相关性的是( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁

解析: 乙小组试验结果的相关系数 r 最大,残差平方和最小,故选 B. 答案: B 7.为了探究患慢性支气管炎是否与吸烟有关,调查了 409 名 50 岁以上的人,现已将得 到的数据进行计算得 K =12.58,则下列说法正确的是( A.50 岁以上的人患慢性支气管炎与吸烟无关 B.在 100 个 50 岁以上的患慢性支气管炎的人中一定有 95 人有吸烟习惯 C.在 100 个 50 岁以上的患慢性支气管炎的人中一定有 99 人有吸烟习惯 D.我们有 99.9%的把握认为 50 岁以上的患慢性支气管炎与吸烟习惯有关 解析: 因 K =12.58>10.828, 所以我们有 99.9%的把握认为患慢性支气管炎与吸烟习惯有关.故选 D.
2 2

)

2

答案: D 8.下列关于残差图的描述错误的是( A.残差图的横坐标可以是编号 B.残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量 C.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 解析: 由于残差图纵坐标为残差,横坐标可以选用样本编号或样本数据或估计值, ∴A,B 正确,又由残差图的性质知 D 正确,故选 C. 答案: C 9.如图所示,图中有 5 组数据,去掉哪组数据后(填字母代号),剩 下的 4 组数据的线性相关性最大( A.E C.D 解析: 由题图中五个点的分布易知选 A. 答案: A 10.甲、乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到 如下列联表: 优秀 甲班 乙班 合计 10 7 17 不优秀 35 38 73 合计 45 45 90 ) ) B.C D.A )

利用独立性检验估计,你认为推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于( A.0.3~0.4 C.0.5~0.6 90×?10×38-7×35? 2 解析: ∵K = 45×45×17×73 = 90×135 2513025
2 2

B.0.4~0.5 D.0.6~0.7

≈0.652 7>0.455

P(K2≥0.455)=0.5,
答案: B 11.以下是两个变量 x 和 y 的一组数据:

x y

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

3

则这两个变量间的线性回归方程为(
∧ ∧ 2

)

A.y=x


B.y= x


C.y=9x-15 D.y=15x-9 解析: 根据数据可得 x =4.5, y =25.5,
2 i=204, ?y i=877 ?x2

n

n

2,

i=1

i=1

?xiyi=1
i=1 n

n

296.

?xiyi-n x y


i=1

b=
i-n x ?x2 i=1 n
2

1 296-8×4.5×25.5 = =9, 2 204-8×4.5





a= y -b x =25.5-9×4.5=-15.


∴y=9x-15. 故选 C. 答案: C 12.变量 x,y 具有线性相关关系,当 x 取值为 16,14,12,8 时,通过观测得到 y 的值分 别为 11,9,8,5.若在实际问题中,y 最大取值是 10,则 x 的最大取值不能超过( A.14 C.16 B.15 D.17


)

解析: 根据题意 y 与 x 呈正相关关系,由最小二乘法或计算器求得回归系数a≈-
∧ ∧ ∧

0.857,b≈0.729,所以线性回归方程为y=0.729x-0.857.当y=10 时,得 x≈15. 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上)


13.对于回归直线方程y=4.75x+257,当 x=28 时,y 的估计值为________.


解析: y=4.75×28+257=390. 答案: 390 14.(2015·福州市高二期末联考)下面是一个 2×2 列联表:

y1

y2

总计

4

x1 x2
总计 则 b-d=________. 解析: ∵a=70-21=49,

a
5

21

70 30 100

c d

b

c=30-5=25,
∴b=49+5=54,d=21+25=46, ∴b-d=8. 答案: 8 15.(2015·湖北省重点中学高二上学期期末考试)下列命题: ①用相关系数 r 来刻画回归的效果时,r 的值越大,说明模型拟合的效果越好; ②对分类变量 X 与 Y 的随机变量的 K 观测值来说,K 越小,“X 与 Y 有关系”可信程度 越大; ③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近 1; 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 解析: 正确的是③,①是由于 r 可能是负值,②中 K 越大,“X 与 Y 有关系”可信程 度越大. 答案: ③ 16. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某高中的学生中随机地抽 取 300 名学生,得到下表: 喜欢数学课程 男 女 合计
2 2 2 2

不喜欢数学课程 85 143 228

合计 122 178 300

37 35 72

则可求得 K 值等于________.

n?ad-bc? 2 解析: 由公式 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
300×?37×143-35×85? = 122×178×72×228 ≈4.514. 答案: 4.514 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)调查在 2~3 级风的海上航行中男、女乘客的晕船情况,结果如
2

2

5

下表所示: 晕船 男性 女性 合计 12 10 22 不晕船 25 24 49 合计 37 34 71

根据此资料,你是否认为在 2~3 级风的海上航行中男性比女性更容易晕船? 71×?12×24-25×10? 2 解析: K = ≈0.08. 22×49×37×34 因为 0.08<2.706, 所以我们没有理由说晕船与男、女性别有关. 18. (本小题满分 12 分)某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系, 随机统
∧ ∧ ∧ 2

计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表,由表中数据得线性回归方程y=bx+a,


其中b=-2.现预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数约为多少? 用电量 y(度) 气温 x(℃) 解析: 由题意可知 24 18 34 13 38 10 64 -1

x = (18+13+10-1)=10, y = (24+34+38+64)=40,b=-2.
∧ ∧ ∧

1 4 1 4



又回归方程y=-2x+a过点(10,40),故a=60.


所以当 x=-4 时,y=-2×(-4)+60=68. 故当气温为-4 ℃时,用电量的度数约为 68 度. 19.(本小题满分 12 分)在日常生活中,我们发现多数老年人喜欢早睡早起,而年轻人 则喜欢晚睡晚起, 究竟年龄与休息时间有没有关系呢?某校研究性学习小组调查了 200 名小 区居民,调查情况如下:年龄 50 岁以上的 80 人中,60 人在晚上 10 点前休息,20 人在 10 点以后休息;年龄在 50 岁以下的 120 人中,40 人在晚上 10 点以前休息,80 人在 10 点以后 休息. (1)作出 2×2 列联表; (2)试判断年龄与休息时间是否有关. 解析: (1)列联表如下: 10 点前休息 50 岁以上 60 10 点后休息 20 总计 80

6

50 岁以下 总计

40 100
2

80 100

120 200

200×?60×80-20×40? 2 (2)K = 80×100×100×120 ≈33.333>10.828, 故年龄与休息时间有关.

20.(本小题满分 12 分)为了研究男羽毛球运动员的身高 x(单位:cm)与体重 y(单位: kg)的关系,通过随机抽样的方法,抽取 5 名运动员测得他们的身高与体重关系如下表: 身高(x) 体重(y) 172 74 174 73 176 76 178 75 180 77

(1)从这 5 个人中随机的抽取 2 个人, 求这 2 个人体重之差的绝对值不小于 2 kg 的概率;


(2)求回归直线方程y=bx+a. 解析: (1)抽取的 2 个人的体重为:(74,73),(74,76),(74,75),(74,77);(73,76), (73,75),(73,77);(76,75),(76,77);(75,77).满足条件的有 6 种情况, 6 3 故:2 个人体重之差的绝对值不小于 2 kg 的概率 = . 10 5 1 1 (2)x= (172+174+176+178+180)=176,y= (74+73+76+75+77)=75 5 5

xi-x yi-y b=
4+4+0+0+8 =0.4 16+4+0+4+16

-4 -1

-2 -2

0 1

2 0

4 2

∴a=75-0.4×176=4.6,


∴y=0.4x+4.6. 21. (本小题满分 13 分)(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家 庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80,?yi=20,
i=1 i=1
10 10

i=720. ?xiyi=184, ?x2 i=1 i=1

10

10







(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
∧ ∧ ∧

附:线性回归方程y=bx+a中,
7

?xiyi-n x y


n

i=1





b=
i-n x ?x2 i=1 n
2

,a= y -b x ,







其中 x , y 为样本平均值.线性回归方程也可写为y=bx+a. 1

解析: (1)由题意知 n=10, x =

xi= =8, y = ?yi= =2, ni? 10 ni=1 10 =1

n

80

1

n

20

又 ?xi-n x =720-10×8 =80, ?xiyi-n x
2 2 2

n

n

y =184-10×8×2=24,

i=1

i=1

?xiyi-n x y


n

i=1

由此得b=

?x2i-n x
i=1


n

∧ ∧ 24 = =0.3,a= y -b x =2-0.3×8=-0.4, 80 2

故所求回归方程为y=0.3x-0.4.


(2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关.


(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元). 22.(本小题满分 13 分)假设一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这 些数据散点图, 则这些点将不会落在一条直线上, 但在一段时间内的增长数据有时可以用线 性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录: 年龄/周岁 身高/cm 3 90.8 4 97.6 5 104.2 6 110.9 7 115.6 8 122.0 9 128.5

年龄/周岁 身高/cm

10 134.2

11 140.8

12 147.6

13 154.2

14 160.9

15 167.6

16 173.0

(1)作出这些数据的散点图; (2)求出这些数据的回归方程; (3)对于这个例子,你如何解释回归系数的含义? (4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系. 解析: (1)数据的散点图如下:

8

(2)用 y 表示身高,x 表示年龄,


则数据的回归方程为y=6.317x+71.984; (3)在该例子中,回归系数 6.317 表示该人在一年中增加的高度; (4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等.

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