【状元360】高考数学一轮复习 10.11 空间角的概念及其求法课件 理_图文

1.异面直线 a,b 所成角的定义 经 过 空 间 任 一 点 O , 作 直 线 __________________ OA∥a,OB∥b , 把 OA 与 OB所成的__________ 最小正角 叫做直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ________ 2.射影 自一点 P 向平面 α 引垂线,垂足 P′叫做点 P 在平面 α 内 的正射影(简称射影), PP′的长度称点 P 到平面 α 的距离. 图形 F 上的所有点在平面 α 上的射影构成的图形 F′, 叫做图形 F 在 平面 α 上的射影. 3.平面的斜线 如果直线 m 与平面 α 相交又不垂直,则直线 m 叫做平面 α 的斜线,交点称为斜足. 4.斜线与平面所成的角 平面 α 的一条斜线 PA 和它在平面 α 上的射影 OA 所成的锐 角(∠PAO),叫做斜线与平面所成的角.平面的垂线与平面所成 的角为 90° ,而直线在平面内或直线与平面平行,此直线与平 面所成的角为 0° .任意直线与一个平面所成的角的取值范围 [0° ,90° ] .(如图所示) 为__________ 5.二面角 半平面 从一条直线 AB 出发的两个________(α 和 β)所组成的图形 叫做二面角.记作二面角 α-AB-β,AB 叫做二面角的棱,两 个半平面(α 和 β)叫做二面角的面. 二面角的平面角:在二面角的棱 AB 上任取一点 O,过 O 分别在二面角的两个面 α、β 内作与棱垂直的射线 OM、ON,我 们把∠MON 叫做二面角 α-AB-β 的平面角,用它来度量二面 角的大小.(如下图所示) 考点一 异面直线所成的角 示范1 如右图所示, 已知在长方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠BAB1=∠ B1A1C1=30° ,则 AB 与 A1C1 所成的 角为________,AA1 与 B1C 所成的角 为________, AB1 与 A1C1 所成的角的 余弦值为________. 【解析】因为 AB∥A1B1,所以 AB 与 A1C1 所成的角也就是 A1C1 与 A1B1 的夹角∠B1A1C1=30° . 已知四边形 BCC1B1 为正方形,AA1 与 B1C 所成的角利用平 移可知也就是 BB1 与 B1C 所成的角 45° . 因为 A1C1∥AC,再连接 B1C,这样 AB1 与 A1C1 所成的角即 为∠B1AC,设 BB1=1,则 AB1=2,AC=2,B1C= 2. 3 从而 cos∠B1AC=4. 3 答案 30° 45° 4 【点评】求异面直线所成的角最基本的方法就是平移. 展示1 如图所示, 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AD1 与 BD 所成角为 α1, AC1 与 B1D1 所成角为 α2, BC 与平面 ABC1D1 所成角为 α3,则有( ) A.α1<α2<α3 B.α1>α2>α3 C.α2>α1>α3 D.α2<α3<α1 【答案】C 【解析】α1=60° ,α2=90° ,α3=45° ,故选 C. 方法点拨: 平移到某一点后解三角形.要注意角的范围?0° ,90° ]. 考点二 线面所成的角 示范2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1, (1)求 AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小; (2)求 AC1 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (3)求 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值. 解析 (1)∵DD1⊥平面 ABCD, ∴∠DAD1 为 AD1 与平面 ABCD 所成的角的平面角, 其大小为 45° . (2)∵CC1⊥平面 ABCD, ∴∠C1AC 为 AC1 与平面 ABCD 所成的角的平面角. CC1 2 tan∠C1AC= = . AC 2 (3)先连接 B1C, 可证明 B1C⊥平面 ABC1D1.设 B1C 与 BC1 交于点 K.则∠B1AK 为 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角. B1K 1 sin∠B1AK= = , AB1 2 1 即 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为 . 2 【点评】立体几何中的计算题一般是先证明后计算.求线面 所成的角的关键是找面之垂线. 展示2 如图所示,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上, (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. (2)(2011汕头一模)如右下图所示,已知圆柱的高为2,底面 半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B,C是下底面圆周上的 两点,已知四边形ABCD是正方形, ①求证:BC⊥BE; ②求正方形ABCD的边长; ③求直线EF与平面ABF所成角的正弦值. 【解析】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂 直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵PD⊥底面ABCD,AC?平面ABCD. ∴PD⊥AC.∵PD∩DB=D,∴AC⊥平面PDB. ∵AC?平面AEC,∴平面AEC⊥平面PDB. (2)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(1),知 AC⊥平面 PDB 于 O. ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所成角. ∵O,E 分别为 DB,PB 的中点, 1 ∴OE∥PD,OE= PD.∵PD⊥底面 ABCD, 2 ∴OE⊥底面 ABCD.∵AO?平面 ABCD,∴OE⊥AO. 1 2 在 Rt△AOE 中,OE= PD= AB=AO, 2 2 ∴∠AOE=45° , 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45° . (2)①∵AE是圆柱的母线,∴AE⊥底面BEFC. ∵BC?平面BEFC,∴AE⊥BC. ∵ABCD是正方形,∴AB⊥BC. ∵AE∩AB

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