大庆实验中学2015届高考数学文科仿真训练及答案

大庆实验中学 2015 届高考仿真模拟考试
A.

且 acosB ? bcosA ? csinC ,则角 B ? (

) C.

文科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 1 ? i ? A.-l+3 i

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

9.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 y ? 概率是( ) B.

2 3 mx ? nx ? 1 在 [1, ??) 上为增函数的 3
D.
2

2 ? 4i (i 为虚数单位),则 z 等于( z
C.l-3i D.l-2i

)

B.-l+2i

1 A. 2

5 6

C.

3 4

2 3
2

x 2 2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?



10.设 m , n ? R ? ,若直线 ? m ?1? x ? ? n ?1? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切,则 m ? n 的最 小值是( A. 2 ? 2 ) B. 2 ? 2 2 C. 4 ? 2 D. 4 ? 2 2

A. x x ? 0

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. x x ? 4

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

x ?1 2 2 ? 0 的解集是 { x | 1 ? x ? 2} . 3. 已知命题 p :存在 a ? R , 曲线 x ? ay ? 1 为双曲线; 命题 q : 给 x?2
出下列结论中正确的有( ) ①命题“ p 且 q ”是真命题; ②命题“ p 且( ? q )”是真命题; ③命题“( ? p )或 q ”为真命题; ④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题. A.1 个 B.2 个
2

11.设 e 1 、 e 2 为焦点在 x 轴且具有公共焦点 F 1 、 F 2 的标准椭圆和标准双曲线的离心率,O 为坐标原点,

P 是两曲线的一个公共点,且满足 2 OP = F1 F2 ,则

e1 e 2 e 12 ? e 22

的值为(

)

A.2 )

B.

2 2

C.3 个

D.4 个

C. 2

D.1

4.设抛物线 C : y ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4 ,则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离是(

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.某几何体的正视图与俯视图如图所示,侧视图与正视图相同,且图中的四边形都是边长为 1 的正方 形,其中正视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积为( ) 1 A. 6 1 B. 4 3 C. 4 5 D. 6

? 2 3 ?? x ? x ? 5 , 0? x ? 1 12 . 已 知 函 数 f ? x ? 为 偶 函 数 且 f ? x? ? f? x ,函数 ? 4? , 又 f ? x ? ? ? 2 ?2 x ? 2? x , 1 ?x? 2 ?

?1? g ? x? ? ? ? ? a,若 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 恰好有 2 个零点, 则 a 的值为( ?2?
A.1 B.2.5 C.2 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知具有线性相关关系的变量 x 和 y ,测得一组数据如右表: 若已求得它们的线性回归方程中的斜率为 6.5,则这条线性回归 方程为 . D.5 x y 2 10 3 20

x



6. 一个算法的程序框图如图所示, 若该程序输出的结果为 则判断框中应填入的条件是 A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 5 ( D. i ? 6 )

5 , 6

5 40

6 30

8 50

? y ? x, ? 14. 已知 z ? 2 x ? y , x、y 满足 ? x ? y ? 2, 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ? x ? a, ?
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a2013= S2013= 2013,则al =( A. -2014 B. -2013 C.-2012 D.-2011 ) 15.点 ? , ? , C , D 在同一球面上, ?? ? ?C ?

;

2 , ?C ? 2 ,若球的表面积为

25? ,则四面体 4

?? ? ?? ? 8..已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量 m ? (cosA, sinA) , n ? (1, 3) ,若 m ∥ n ,

?? CD 体积的最大值为
2.给出如下五个结论:



①存在 ? ? (0,

?
2

) 使 sin a ? cos a ?

1 3

②存在区间( a , b )使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0 ③ y ? tan x 在其定义域内为增函数 ④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin? 2 x ?

?
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数
(1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求四棱锥 P ? BFED 的体积. 20.已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦点,离心率是 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知动直线 y ? k ? x ? 1? 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,且在 x 轴上存在点 M,使得 MA ? MB 与 k 的
n

? ?

?
6

? 最小正周期为π

其中正确结论的序号是 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知:等差数列{ an }中, a4 =14,前 10 项和 S10 ? 185. (1)求 an ; (2)将{ an }中的第 2 项,第 4 项,?,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前 n 项 和 Gn . 18. 为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,他们月收 入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表: 月收入 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 5 2 1 将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族”,月收入低于 55 的人群称为“非高收入族”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为非高收入 族赞成楼市限购令? 非高收入族 高收入族 合计 赞成 不赞成 合计 (2)现从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率. n(ad ? bc)2 附: K 2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) P(K ≥k0) k0
2

6 . 3
???? ????

取值无关,试求点 M 的坐标. 21. 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 3ax ? a 2 ?3, ( x ? 0)
x 2 ?2e ? ( x ? a) ? 3, ( x ? 0)

,a?R .

(1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点关于原点对称,求 a 的范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做。则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选的题号涂黑. (22)《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连 结 AC . 求证:(Ⅰ) ?BAC ? ?CAG ;
2 (Ⅱ) AC ? AE ? AF .

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

? 19 .如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点,

(23)《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (Ⅰ)求 C2 的方程;

AC ? EF ? O. 沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF , 连接 PA,PB,PD , 得到如图的五棱锥 P ? ABFED ,
且 PB ? 10 .

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上的动点, P 点 ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

(Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点 为

A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .
(24)《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1? ,求 a 的值.

文科数学仿真训练参考答案
一、 选择题 ACBBD DDABB 二、 填空题 y=6.5x-1.2 1/4 三、 17.
n

(2)解:设 AO ? BD ? H ,连接 BO , ∵ ?DAB ? 60? ,

BC

∴△ ABD 为等边三角形. ∴ BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 .

2/3

④ 在 R t△ BHO 中, BO ? 求得 ?

解答题

BH 2 ? HO2 ? 7 ,

?a1 ? 5 所以 an ? 3n ? 2 ???6 分 ?d ? 3
................12 分

在△ PBO 中, BO2 ? PO2 ? 10 ? PB2 , ∴ PO ? BO . ∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ∴ PO ? 平面 BFED .

(2)令 bn ? a2n ? 3 ? 2 ? 2 则 Gn ? 3 ? 2 n ? 2n ? 6 18. (1)由题意得列联表如下: 非高收入族 赞成 不赞成 合计 29 11 40

高收入族 3 7 10

合计 32 18 50

1 ? EF ? BD ? ? HO ? 3 3 , 2 1 1 ∴四棱锥 P ? BFED 的体积 V ? S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 . ?????..12 分 3 3
梯形 BFED 的面积为 S ? 20.(1) y 2 ? 4 5x 的焦点为为

?

5, 0 ,

?

假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系, 则 K2 ?
n(ad ? bc) 2 50 ? (29 ? 7 ? 11 ? 3) 2 = =6.272<6.635, (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 32 ? 18 ? 40 ? 10

根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴上,且 a ? 5 , ∵离心率 e ?

∴不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令.???6 分 (2)由题意得月收入在[15,25)中有 4 人赞成楼市限购令,1 人不赞成,将他们分别记为 A1,A2,A3,A4, a,则从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人的所有结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1, a),(A2,A3),(A2,A4),(A2,a),(A3,A4),(A3,a),(A4,a),共 10 种; 其中所抽取的两人都赞成楼市限购令的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4), (A3,A4),共 6 种,∴所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率为 P=0.6??????.12 分 19. (1)证明:∵点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, ∴ BD ∥ EF . ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC . ∴ EF ? AC . ∴ EF ? AO , EF ? PO . ∵ AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO ? PO ? O , ∴ EF ? 平面 POA . ∴ BD ? 平面 POA . ????????????????6 分 故b ?

6 30 6 ,∴ c ? ea ? . ? 5? 3 3 3

a2 ? c2 ? 5 ?

10 5 ? . 3 3
???????4 分

故所求的方程为:

x2 y 2 + ? 1. 5 5 3
2 2

(2)将 y=k(x+1)代入 E: x ? 3 y ? 5 得:

? 3k

2

? 1? x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 .

设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? m,0? , 则 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x ? x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???6 分

???? ???? MA ? MB ? ? x1 ? m, k ? x1 ? 1? ? ? ? x2 ? m, k ? x2 ? 1? ?

? ? k 2 ? 1? x1 ? x2 ? ? k 2 ? m ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? m 2 ? k 2 ? 1

?

? 6k 2 ? 2 3k 2 ? 5 2 ? k ? m ? 3k 2 ? 1 ? ? ? ? 3k 2 ? 1 ? ? k ? m2 ? ?
?????10 分

∴ a ? 2e 时,方程 a ?

2e x0 在 (0, ??) 内有解 x0

?m

2

6m ? 1? k 2 ? 5 ? 1 ? ? m 2 ? 2m ? ? 3k ? 1
2

6m ? 14 3 3 ? 3k 2 ? 1?
7 , 3

∴ a ? 2e 时, y ? f ( x) 的图象上存在两点关于原点对称.????12 分 22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG.------------------------------5 分 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC.

要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0,解得 m ? ? ∴点 M 的坐标为( ?

7 ,0)?????????????12 分 3

21. (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 2ex ? ( x ? a)2 ? 3 , f ?( x) ? 2(e x ? x ? a) ∵ y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值∴ f ?(1) ? 0 ,即 2(e ? 1 ? a) ? 0 解得: a ? 1 ? e ,经验证满足题意,∴ a ? 1 ? e . (2) y ? f ( x) 的图象上存在两点关于原点对称,
x 2 即存在 y ? 2e ? ( x ? a) ? 3 图象上一点 ( x0 , y0 ) ( x0 ? 0) ,

???????4 分

AC AF 2 ? ,∴AC =AE·AF.---------------10 分 AE AC ?x y? (23)解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M ? , ? , ?2 2?


使得 (? x0 , ? y0 ) 在 y ? x ? 3ax ? a ?3 的图象上
2 2

则有 ?

? y0 ? 2e x0 ? ( x0 ? a ) 2 ? 3
2 2 ? ? y0 ? x0 ? 3ax0 ? a ?3

2ex0 ? ( x0 ? a)2 ? 3 ? ?x02 ? 3ax0 ? a 2 ?3

?x ? 2cos ? ? ?2 由于 M 点在 C1 上,所以 ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? x ? 4cos ? 从而 C2 的参数方程为 ? (α 为参数)---------------5 分 ? y ? 4 ? 4sin ? (2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =8sinθ . π π 射线θ = 与 C1 的交点 A 的极径为ρ 1=4sin , 3 3 π π 射线θ = 与 C2 的交点 B 的极径为ρ 2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3.-----------------10 分

2e x0 化简得: a ? ,即关于 x0 的方程在 (0, ??) 内有解 x0
2e x 2e x ( x ? 1) ? 设 h( x ) ? ( x ? 0) ,则 h ( x) ? x x2
∵x?0 ∴当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 即 h( x) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上为增函数

?????8 分

∴ h( x) ? h(1) ? 2e ,且 x ??? 时, h( x) ? ?? ; x ? 0 时, h( x) ? ?? 即 h( x) 值域为 [2e, ??)

?x ? a a? ? ? 或? a 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? x?? 2? ? ? ? 2 a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 .----------------10 分 2

?x ? a ? ? a x? ? ? 4


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