高中数学人教A版选修2-2《教案推理和证明》word学案

山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 教案推理和证明学案 新人 教 A 版选修 2-2 教学内容 【学习目标】 1.了解合情推理的含义,能利用归纳 和类比等进行简单的推理, 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简 单推理。了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 3.了解分析法、 综合法、 反证法, 会用能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题。 【学习重点】了解直接证明的两种基本方法— —分析法和综合法;了解分析法和 综合法的思考过程、特点。 【学习难点】了解间接证明的一种基本方 法——反证法,能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题; 回顾.预习 (一)推理: 1.合情推理 (1)归纳推理 ①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称 归纳). ②特点:由部分到整体、由个别到一般的 推理. (2)类比推理 ①定义:由 两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另 一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称 为合情推 理. 2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种 推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 学 习 指 导 即 使 感 悟 回 顾 知 识 (二) 、直接证明 内容 定义 综合法 分析法 利用已知条件 和某些数学定义、公 从要证明的结论出发,逐步寻求使 理、 定理等, 经过一系列的推理论证, 它成立的 充分条件,直至最后,把 最后推导出 所要证明的结论成立 要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件 实质 由因导果 执果索因 Q?P1 框图 表示 → P1?P2 → … → P? Q1 → Q1? Q2 →…→ Qn? Q 得到一个明显 成立的条件 (三) 、间接证明 反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推 理,最后得出矛盾.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方 法叫做反证法. (四)数学归纳证题的步骤: (1)证明当 n 取第一值 (2)假设 n=k(k≥ n0 (n0 ? N ? ) 时命题成立: n0 ,k∈ N ? )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 注:1、第一个值 时,则第一个值 n0 是否一定为 1 呢?不一定,要看题目中 n 的要求,如当 n≥3 n0 应该为 3。 2、数学归纳法两个步骤体现了递推思想,第一步是递推基础,也叫归纳奠基, 第二步是递推的依据,也叫 归纳递推。两者缺一不可。 课前自测 1.由真命题 a , b 遵循演绎推理规则得出命题 q ,则 q (C) A.一定为真 B.一定为假 C.不一定为真 D.以上都不正确 2 .下面几种推理是合情推理的是(C) ①由圆的性质类 比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形 的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是 180°;③张军某次考试成 绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分;④三角形内角和是 180°, 四边形内角和是 3 60°,五边形内角和是 540°, 由此得凸 n 边形内角和是(n- 2)·180° A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 3.用反证法证明命题“三角形的内 角至多有一个钝角”时,假设正确的是(B) A.假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 4.设 a, b, c 是 ABC 的 三边,且 S ? a 2 ? b2 ? c 2 , P ? ab ? bc ? ca ,则(D) A. S ? 2 P B. P ? S ? 2 P 100 C. S ? P +1 是奇数,所以 2 100 D. P ? S ? 2 P +1 不能被 2 整除,其 5.一切奇数都不能被 2 整除,2 演绎“三段论”的形式为: 大前提:一切奇数都不能被 2 整除 结论:所以 2 100 小前提:2 100 +1 是奇数 +1 不能被 2 整除. 1 6. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 2 n(n-3) 条时, 第一步验证 n 等 于(C)A. 1 自主.合作.探究 B.2 C.3 D.0 例 2 用三段论的形式写出下列演绎推理. 矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等; 大前提:矩形的对角线相等 小前提: 结论:正方形是矩形 正方形的对角线相等 例 3 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,试用综合法分析法证明不等式 (a+ 1 1 25 )(b+ ) ? a b 4 ∵a >0,b>0 且 a+b=1,故 0<a<1,0<b<1,0<ab<1, 【证明】 1 1 25 要证(a+a)(b+b)≥ 4 , a2+b2+1 25 只需证 ab+ ≥4, ab 只需证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 只需证 4(ab)2+8ab-25ab+4≥0, 只需证 4(ab)2-17ab+4≥0, 例 4:用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2 ? (2n ?1)2 ? (2n)2 ? ?n(2n ? 1) 2 2 【证明】(1) n ? 1 时,左边 ? 1 ? 2 ? ?3 ,右边 ? ?3

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