3.1.2两条直线平行与垂直的判定


问题提出

1、直线的倾斜角和斜率的含义分别是什么?
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角

α叫做直线l的倾斜角.
规定:当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为00

直线的倾斜角α不等于900时,倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率.

问题提出
2、经过两点的直线的斜率公式是什么? 若直线经过A( x 1, y 1),B( x 2 , y 2 ),则直线 的斜率公式为
y 2 ? y1 k? (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

新课引入
在平面直角坐标系中,直线的 倾斜角和斜率都是表示直线方向的 量,而平行与垂直是两条不同直线 的两种特殊位置关系,那么我们怎 样通过直线的斜率来判定这两种位 置关系吗?

知识探究(一):两条直线平行的判定

思考一:若两条直线平行,则它们的倾斜 角有何关系?反之成立吗?
y

l1
α
1

l2 α
2

O

x

若两条直线平行,则它们的倾斜 角相等,反之两条不同直线的倾斜 角相等,则它们平行。

知识探究(一):两条直线平行的判定

思考二:若两条不同直线的斜率相等, 这两条直线的位置关系如何?反之成 立吗?
?两条不重合的直线l1 ? l2 反之不一定成立,因为由l1 ? l2 ? ?1 ? ? 2
0

? k1 ? k2 ? tan ?1 ? tan ? 2 ? ?1 ? ? 2

但由?1 ? ? 2不能推出tan ?1 ? tan ? 2,为什么?

例如:当直线的斜率?1 ? ? 2 ? 90 时, tan ?1, tan ? 2不存在!

知识探究(一):两条直线平行的判定

思考三:对于两条不重合的直线l1和l2, 其斜率分别为k1,k2,根据上述分析 可得什么结论?

l1 // l2 ? k1 ? k2
特别注意:上面的等价是在两直 线斜率存在的前提下才成立的,缺 少这个前提,结论并不存立.

例1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论. 3-0 1 = = 解:直线BA的斜率kBA 2-(-4) 2 2-1 1 直线PQ的斜率kPQ = -1-(-3) = 2 因为kBA = kPQ , 所以直线 BA // PQ

例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3). 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. 1 解:AB边所在直线的斜率kAB= 2 1 CD边所在直线的斜率kCD = - 2 3 AD边所在直线的斜率kAD = 2 3 BC边所在直线的斜率kBC = 2 kBC = kDA ,所以 AB // CD, 因为kAB = kCD , BC // DA, 因此四边形ABCD是平行四边形.

思考: l1 ? l2时,k1与k2满足什么关系?
设两条直线l1与l2的倾斜角分别为?1与? 2 ??1,? 2 ? 90o ? , 斜率分别为k1与k2 , 则 ?2 ? ?1 ? 90
o

y

1 ? tan ? 2 ? tan ??1 ? 90 ? ? ? tan ?1
o

l2

l1

?k1k2 ? ?1

?1
O

?2
x

探究: 当k1k2 ? ?1时,l1与l2的位置关系如何? 垂直
? k1 ? k2 ? ?1 ? tan ? 2 ? tan(900 ? ?1 ) ? ? 2 ? 900 ? ?1 ? 两条直线l1 ? l2 由上我们得到,如果两条直线都有斜率,且它

们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1 反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直

即 l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
特别注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前 提下才成立的,缺少这个前提,结论并不存立.

结论
1 设直线 l1 ,l2 的斜率分别为k1 ,k2
那么l1⊥ l2 ??k1k2 = -1 两直线斜率存在 2 若直线 l1⊥l 2 ,且有一条直线 的斜率不存在时,另一条直线的 斜率为0.

例3.已知A(-6,0),B(3,6),P(2,6), Q(4,3),试判断直线AB与直线PQ的位置关 系. 2 解:直线AB的斜率kAB = 3 3 直线PQ的斜率kPQ = - 2 由于kABkPQ = 2 ×(- 3 ) =-1 3 2 所以直线AB⊥PQ.

例4.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3) 三点,试判断△ABC的形状. 解:AB边所在直线的斜率kAB = BC边所在直线的斜率kBC = 2 有kAB kBC =-1,得AB⊥BC, 既∠ABC=90°. 所以△ABC是直角三角形. 1 2

理论迁移
例5 已知点A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+ 1),分别在下列条件下求实数m的值: (1)直线AB与CD平行; (2)直线AB与CD垂直.

4-1 3 (m ? 1) ? m 1 解:(1) ? k AB = =, kCD ? ?? -3-m m+3 ?1 ? 1 2 又 ? AB ? CD ? k AB ? kCD

4-1 3 (m ? 1) ? m 1 (2) ? k AB = =, kCD ? ?? -3-m m+3 ?1 ? 1 2 又 ? AB ? CD ? k AB ? kCD ? ?1 3 1 9 即() ? (? ) ? ?1 ? m ? ? m?3 2 2

3 1 即?? ?m?3 m?3 2

练习1.判断下列各小题中的不同直线l1,l2是否平行:

(1)l1的斜率为2,l2经过点A(1,2)B(4, 8)l1 // l2.
但不经过P,Q两点

(2) l1 经过点P(3,3),Q(-5,3), l2 平行于x轴, l1 // l2. (3) l1经过点M(-1,0),N(-5,-2), l2 经过点R (-4,3),S(0,5) l1 // l2. 解:(1)直线AB的斜率k2=2 因为l1 的斜率k1=2, 所以k1=k2 因此直线l1 // l2.

练习2.判断下列各小题中的每对直线是否垂直: 3 (1)l1的斜率为 2 ,l2经过点A(1,1), 1 B(0, 2) l1 ⊥ l2. (2)l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1), l1 ⊥ l2. Q(3,-6) (3)l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过 点R(-6,0),S(-1,3) l1 ⊥ l2. 3 解:(1)直线 l2 的斜率k2= 2 3 因为k1k2 =(- 2 ) × =-1 3 2 所以 l1 ⊥ l2.

练习3. 试确定m的值,使过点A(m,1), B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0) 的直线 (1)平行 (2)垂直 m-1 0-2 1 = = k = 解:kAB PQ 3 -1-m -5-1 m-1 1 = (1)当kAB = kPQ , 即 时 -1-m 3 经过AB的直线与经过PQ的直线平行

解得:m = 1 2

练习3.试确定m的值,使过点A(m,1), B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0) 的直线 (1)平行 (2)垂直 m-1 1 解: (2)当kAB · kPQ = -1, · 3 = - 1时 即 -1-m 经过AB的直线与经过PQ的直线垂直

解得:m= - 2

精选补充练习4
1.若A?3,2?、B ? 6,1?、C ? a,4? 三点共线,则a 的值等于多少?

-3
2.点M ?1,2? 在直线l上的射影是H ? ?1,4? , 求直线l的倾斜角?

45
求 D的坐标?

0

3.在平行四边形ABCD中,已知A ?3,-2 ?、B ? 5, 2 ?、C ? -1,4 ?,

0? ?-3,

一、知识内容上 L1// L2? k1=k2 (前提:两条直线不重合,斜率都存在) L1⊥ L2? k1k2= -1 (前提:两条直线都有斜率,并且
都不等于零.)

二、思想方法上

(1)运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系
(2)数形结合的思想


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