高一数学上学期期末测试题(必修1+必修2)


高一上学期期末测试题(必修 1+必修 2) 第一部分 选择题(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的. 1. 设 集 合 X ? {0,1, 2, 4,5,7}, Y ? {1,3,6,8,9}, Z ? {3,7,8} , 那 么 集 合 ( X Y ) Z 是 ( ) (湖南版必修一 P69 第 2 题) A. {0,1, 2,6,8} B. {3, 7,8} C. {1,3, 7,8} D. {1,3,6,7,8} 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集 N ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射 到集合 B 中的元素 n2 ? n ,则在映射 f 下,像 20 的原像是( ) (湖南版必 修一 P71 第 15 题) A. 2 B. 3 3. 与函数 y ? x 有相同的图像的函数是( A. y ? x 2 C. 4 D. 5 ) (湖南版必修一 P 144 第 2 题) B. y ?
x2 x

C. y ? a loga x (a ? 0且a ? 1) D. y ? loga a x (a ? 0且a ? 1) 4. 方程 lg x ? 3 ? x 的解所在区间为( ) (苏教版必修一 P78 例 2 改编) A. (0,1) B. (1, 2) C. (2,3) D. (3, 4) 5. 设 f ( x) 是 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (7.5) 等于(湖南版必修一 P 147 第 20 题) A. 0.5 B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5 6. 下面直线中,与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 相交的直线是( ) (苏教版必修二 P90 第 1 题) A. 4 x ? 2 y ? 6 ? 0 B. y ? 2 x C. y ? 2 x ? 5 D. y ? ?2 x ? 3
2 2 7. 如 果 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey? F ? 所表示的曲线关于直线 0( D ? E ? 4 F? 0) y?x

对称,那么必有( A. D ? E D?E?F

) (苏教版必修二 P 105 第 6 题) B. D ? F C. E ? F

D. ) (北师大版 D. b // ? 或

8. 如果直线 a // 直线b, 且a // 平面? ,那么 b与? 的位置关系是( 必修二 P37 第 2 题) A. 相交 B. b // ? C. b ? ? b ??

9. 在空间直角坐标系中,点 P(3, ?2,1) 关于 x 轴的对称点坐标为( ) (北师 大版必修二 P 113 第 3 题改编) A. (3, 2, ?1) B. (?3, ?2,1) C. (?3, 2, ?1) D. (3, 2,1) 10. 一个封闭的立方体, 它的六个表面各标出 ABCDEF 这六个字母.现放成下面三 中不同的位置,所看见的表面上字母已标明,则字母 A、B、C 对面的字母分别 为( ) (苏教版必修二 P65 第 4 题)

B A C B. E、D、F

D C A C. E、F、D D. C

B E F、D、

A. D、E、F E

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分. 11. 幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 教 A 版必修一 P91 第 10 题) 12. 直线过点 P(5, 6) ,它在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍,则此直线方 程为__________________________(苏教版必修二 P 120 第 5 题) 2 2 2 2 13. 集 合 M ? { ( x , y ) ? x | ? y 4 } ? N, x{ ( y? , x) ? | 2 (? y 1 ? ), 若 ( r ? r1 ) M N ? ,则实数 N r 的取值范围为_____________(苏教版必修二 P 120 第 12 题) ) 别 由 下 表 给 出 , 则 f [ g ( 2?) _______ ] 14. 已 知 函 数 f ( x) , g ( x 分 , g[ f (3)] ? ________. x x 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 1 4 3 f ( x) g ( x) (苏教版必修一 P29 第 8 题) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推 证过程.(其中 15 题和 18 题每题 12 分,其他每题 14 分) 15. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 | x | ?1 ,作出函数的图象,并判断函数的奇偶性.(苏教 版必修一 P43 第 6 题)
2 则 f ( x) 的解析式为_______________ (人 ), 2

,

16. 已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) (a ? 0, a ? 1) . (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性. (北师大版必修一 P 128 第 1 题)

17. 正 方 体 A B C D ?

1

( 1 ) AC ? 平面B1D1DB ; (2) A1 B1 C中 1 D, 求 证 :

BD1 ? 平面ACB1 .
(北师大版必修二 P68 第 11 题)

(17 题图)

(18 题图)

18. 一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,在其中有一个高为 x cm 的内接圆柱. (1)试用 x 表示圆柱的侧面积; (2)当 x 为何值时,圆柱的侧面积最大?(北师大版必修二 P58 第 2 题)

19. 求二次函数 f ( x) ? x2 ? 2(2a ?1) x ? 5a2 ? 4a ? 2 在 [0,1] 上的最小值 g (a) 的解析 式. (北师大版必修一 P66 第 3 题)

20. 已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 . (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 被圆 C 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 m 的值以及最短弦长. (人教 A 版必修二 P 156 B 组第 6 题)

高一上学期期末复习题参考答案及评分标准 一、 选择题:本大 二、 题主要考查基本知识和基本运算. 共 10 小题,每小题 5 分, 满分 5 0 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 D 7 A 8 D 9 A 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 共 4 小题,每小题 5 分,满 分 2 0 分. 11. 12. 13. 14.

f ( x) ? x

?

1 2

6 x ? 5 y ? 0 或 x ? 2 y ? 17 ? 0

(0, 2 ? 2]
2; 3

三、解答题: 15. 本小题主要考查分段函数的图象,考查函数奇偶性的判断. 满分 12 分.

? x 2 ? 2 x ? 1, ( x ? 0) 解: f ( x) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 1, ( x ? 0)
函数 f ( x) 的图象如右图 函数 f ( x) 的定义域为 R

……2 分 ……6 分 ……8 分

f ( x) ? x2 ? 2 | x | ?1
2 f (? x) ? (? x) ? 2 | ? x | ?1

? x 2 ? 2 | x | ?1 ? f ( x)
所以 f ( x) 为偶函数. ……12 分

16. 本小题主要考查指数函数和对数函数的性质, 考查函数的单调性. 满分 14 分. 解: (1)函数 f ( x) 有意义,则 a x ? 1 ? 0 当 a ? 1 时,由 a x ? 1 ? 0 解得 x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时,由 a x ? 1 ? 0 解得 x ? 0 . 所以当 a ? 1 时,函数的定义域为 (0, ??) ; ……4 分 ……2 分

当 0 ? a ? 1 时,函数的定义域为 (??, 0) .

……6 分

(2)当 a ? 1 时,任取 x1, x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则 a x1 ? a x2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (a x1 ? 1) ? log a (a x2 ? 1) ? log a a x1 ? 1 a x1 ? a x2 ? log (1 ? ) a a x2 ? 1 a x2 ? 1

a x1 ? a x2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (1 ?

a x1 ? a x2 ) ? log a 1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a x2 ? 1

由 函 数 单 调 性 定 义 知 : 当 a ? 1 时 , f ( x) 在 (0, ??) 上 是 单 调 递 增 的. ……10 分

当 0 ? a ? 1 时,任取 x1, x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x2 ,则 a x1 ? a x2
a x1 ? 1 a x1 ? a x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 ? log a (1 ? x2 ) a ?1 a ?1
x1 x2

a x1 ? a x2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a (1 ?

a x1 ? a x2 ) ? log a 1 ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) a x2 ? 1

由 函 数 单 调 性 定 义 知 : 当 0 ? a ? 1 时 , f ( x) 在 (??, 0) 上 是 单 调 递 增 的. ……14 分 17. 本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理证明能力. 满分 14 分. 证明: (1)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

B1B ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? B1B

AC ? BD , BD

……3 分 ……7 分

B1B ? B ,? AC ? 平面B1D1DB

(2)连接 AD1 , BC1 , D1C1 ? 平面 BCC1B1 , B1C ? 平面 BCC1B1 ,? B1C ? D1C1 又 B1C ? BC1 , BC1

D1C1 ? C1 ,? B1C ? 平面ABC1D1
……10 分

BD1 ? 平面ABC1D1 ,? BD1 ? B1C

由(1)知 AC ? 平面B1D1DB , BD1 ? 平面 ABCD ,? BD1 ? AC

AC

B1C ? C, ? BD1 ? 平面ACB1

……14 分

18. 本小题主要考查空间想象能力, 运算能力与函数知识的综合运用. 满分 12 分. 解: (1)如图: POB 中,
? D B? DB 2 DB OB ? ,即 ? x 6 D1D PO

……2 分 ……4 分

1 1 x , OD ? OB ? DB ? 2 ? x 3 3

1 圆柱的侧面积 S ? 2? ? OD ? D1 D ? 2? (2 ? x) ? x 3 2? (6 ? x) ? x ( 0 ? x ? 6 ) ?S ? 3 2? 2? (6 ? x) ? x ? ? ( x ? 3) 2 ? 6? (2) S ? 3 3

……8 分

? x ? 3 时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积为 6? cm2 ……12 分

19. 本小题以二次函数在闭区间上的最值为载体,主要考查分类讨论的思想和数 形结合的思想. 满分 14 分. 解: f ( x) ? x2 ? 2(2a ?1) x ? 5a2 ? 4a ? 2 = [ x ? (2a ?1)]2 ? a2 ? 1 所以二次函数的对称轴 x ? 2a ? 1 1 当 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时, f ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 2 ……3 分

? g (a) ? f (0) ? 5a2 ? 4a ? 2
当 2a ? 1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,

……6 分

? g (a) ? f (1) ? 5a2 ? 8a ? 5
当 0 ? 2a ? 1 ? 1 ,即
1 ? a ? 1 时, g (a) ? f (2a ?1) ? a2 ? 1 2

……9 分 ……12 分

1 ? 2 ? 5a ? 4a ? 2, (a ? 2 ) ? 1 ? ( ? a ? 1) 综上所述 g (a ) ? ?a 2 ? 1, 2 ? 2 ? 5a ? 4a ? 2, ( a ? 1) ? ?

……14 分

20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查综合运用数学知识分析和解决问 题能力. 满分 14 分. (1)证明:直线 l 的方程可化为 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 . ……2 分

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 联立 ? 解得 ? ? x? y?4 ? 0 ?y ?1

所以直线 l 恒过定点 P(3,1) . (2)当直线 l 过圆心 C 时,直线 l 被圆 C 截得的弦何时最长. 当直线 l 与 CP 垂直时,直线 l 被圆 C 截得的弦何时最短. 设此时直线与圆交与 A, B 两点.
2m ? 1 1? 2 1 ?? . , kCP ? m ?1 3 ?1 2 2m ? 1 1 3 ? (? ) ? ?1 解得 m ? ? . 由 ? m ?1 2 4

……4 分 ……5 分 ……6 分

直线 l 的斜率 k ? ?

……8 分

此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 . 圆心 C (1, 2) 到 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离 d ?
| 2?2?5| ? 5. 5

……10 分

| AP |?| BP |? r 2 ? d 2 ? 25 ? 5 ? 2 5 .
所以最短弦长 | AB |? 2 | AP |? 4 5 . ……14 分


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