集合的含义与表示


集合的含义与表示
基础知识扫描:
1、元素:一般地,我们把把研究对象统称为元素; 2、集合:把一些元素组成的全体叫做集合,简称为集; 3、集合中元素的特性: 、 、 4、集合的表示方法有 、 、图示法.

.

知识点一

集合元素的确定性

设 A 是一个给定的集合,x 是某一元素,则 x 是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必 有一种且只有一种成立. 例 1.下列语句能确定是一个集合的是( ) A.著名的科学家 B.留长发的女生 C.2010 年广州亚运会比赛项目 D.视力差的男生 变式 1.判断下列说法是否正确?并说明理由. (1)参加 2010 年广州亚运会的所有国家构成一个集合; (2)未来世界的高科技产品构成一个集合; (3)高一(三)班个子高的同学构成一个集合. 变式 2.由下列对象组 成的集体 ①不超过π 的正整数; ②课本中所有的难题; ③中国的大城市; ④平方后小于自身的数; ⑤高一年级期中考试 成绩高于 500 分的学生; ⑥平面上到 O 点距离等于 1 的点的全体.其中,可以构成集合的组数是( ) A.? 2 B.? 3 C.? 4 D.? 5

知识点二

集合元素的互异性

对于一个给定的集合,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时, 仅算一个元素..如:应把集合{1,2,2}改成{1,2} 例 2.已知集合 M={a,b,c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长,那么此三角形 一定不 是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 变式 1.已知集合 A 是有三个元素 a ? 2,2a ? 5a,12 组成的,且 ? 3 ? A ,求 a.
2

知识点三

元素与集合的关系
__;读作“____ __或__ _读作“___ ; 正整数集: ___”; ___”. ; 整数集: ;

1、集合常用大写字母 A,B,C,……标记,元素常用小写字母 a,b,c,……标记。 2、如果 a 是集合 A 的元素,就记作_____ 3、如果 a 不是集合 A 的元素,就记作_

4、 几个常用数集要记牢: 自然数集 (非负整数集) : 有理数集: ;实数集: 。

例 3.用∈或 ? 填空 1_______N -3_________N 1_______Z -3_________Q

1.44 ___

Q

1 ? 2 ______ Z 2 ?1

0__________N 0__________Z
3 _____ {x |

2 ________N 2 ________R
x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}

5、两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等,如:A={x|x -1=0} B={-1,1} 集合中的元素是平等的,没有先后顺序,如:集合{1,2,3}和{1,3,2}表示同一 集合。 6、集合可分为有限集、无限集、空集 7、我们把不含有任何元素的集合叫做空集,如 B={x|x2+2=0} ,记做 Φ,要理解 “Φ 与{Φ}”的关系。 例 4.下列各组集合中,满足 P ? Q 的有__________(填序号) ① P ? {(1,2)} , Q ? {( 2,1)}
2 2

2

② P ? {1,2,3} , Q ? {3,2,1}
2

③ P ? {( x, y ) | y ? x , x ? R} Q ? {( x, y ) | y ? x , x ? R} ④ P ? {x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R} Q ? {x | x ? 1 ? 0, x ? R} 例 5. 已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R ,a 为实数
2

?

?

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围 (2)若 A 是单元素集,求 a 的值 (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围
【答案】 (1)若 A 是空集,则 ?

?a ? 0 ?? ? 4 ? 4 a ? 0

所以 a

?1

(2)若 A 是单元素集,则有两种情况

1 1 A ? {? } ,说明 a ? 0 满足条件 2 2 ② a ? 0 ? ? 4 ? 4a ? 0 , a ? 1
①a

? 0 2x ?1 ? 0 x ? ?

综合上述考虑, a

? 0 或 a ?1

(3)若 A 中至多只有一个元素,那么 A 可能是空集,也可能是单元素集。

所以 a ? 0 或 a ? 1

知识点四

用列举法表示集合

把集合中的元素一一列举出来写在大括号{ }内表示集合的方法叫列举法,元素间 要用 隔开,能用列举法表示的三种集合: ①元素不太多的有限集,如{0,1,8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3,?,100} ③呈现一定规律的无限集,如 {1,2,3,?,n,?} 例 6.用列举法表示下列集合 (1)绝对值小于 3 的所有整数组成的集合; (2)自然数中最小的 5 个完全平方数; (3){ x|-2≤x≤2,x∈N }

知识点五

用描述法表示集合

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法, (1)语言描述法:例:{正方形}, {地球上的四大洋} , (2)数学式子描述法: 如:所有奇数组成的集合可以表示为: B={x∈Z | x=2k+1,k∈Z}. 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 (3)描述法弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}, {y|y=x2}, {(x,y)

|y=x2}是三个不集合相等: (4) { }已包含“所有”的意思, 所以不能写成{全体整数}。 下列写法{实数集}, {R},{高 一级全体学生}也是错误的。 例 7.用描述法表示下列集合. (1)所有能被 3 整除的数; (2)第一、三象限所有点的集合; (3)三角形的全体构成的集合; 变式 1. 判断下列对象能否构成一个集合,如果能,请采用适当的方法表示该集合;如 果不能,请说明理由。 (1) 小于 5 的整数 (2)高一年级身高大于 1.70m 的同学 (3)方程 x ? y ? 3 的非负整数解 (4)与 ? 非常接近的有理数
? x ? y ? 3, ? 2 x ? 3 y ? 1, 变式 2.方程组 ? 的解的集合是( ) A.? {x=2,y=1} B.? {2,1} C.? {1,2} D.? {(2,1)}

巩固练习:
1.下列研究的对象能否构成集合 ① 某校个子较高的同学; ② 倒数等于本身的实数 ③ 所有的无理数 ④中国的大城市 ⑤中国的直辖市 2.集合 A= x | kx ? 8x ? 16 ? 0 ,若集合 A 中只有一个元素,试求实数 k 的值.
2

?

?

3.下列写法正确的是___________________ ① 3 ? Q;②当 n∈N 时,由所有(-1)n 的数值组成的集合为无限集 ③1∈Z; ④由 book 中的字母组成的集合与元素 k,o,b 组成的集合是同一个集合. 4.当 x 满足什么条件时,1,x,-x 三个元素可构成一个集合? 5.M={ x∈N+|- 3 ≤x≤ 3 },则下列说法正确的是( ) A.? M= ? B.? 3 ∈M C.? M 是有限集 D.? 1 ? M

6. 若 A={0,m,m2-3m+2},且 2∈A,则 m=( ) A.? 2 B.? 3 C .? 0 或 3 D.? 0、2 或 3 12 x 7. 集合 A={x︱ y= ? 3 ,x∈N,y∈Z},则 A= 8. 设集合 M= {x | x ? 17}, a ? 4 2 , 则( A. a ? M B. a ? M C. a = M ② ) D. a > M 集合

9. 有 下 列 命 题 : ① {?} 是 空 集

若 a ? N, b ? N , 则 a ? b ? 2 ③

{x | x 2 ? 2 x ? 1 ? 0} 有两个元素 ④ 集合

B ? {x |

100 ? N , x ? Z} x 为无限集,其中正确命

题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 下列集合中,表示同一集合的是( ) A. M={(3,2)} , N={(2,3)} B. M={3,2} , N={(2,3)} C. M={(x,y)|x+y=1}, N={y|x+y=1} D.M={1,2}, N={2,1} 11.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( ) A.方程 y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数 y=2x-1 图象上的所有点组成的集合 12.集合 A ? {x | x ?
2

|a| |b| , a, b 为非零实数 } 的元素个数为_________ ? a b

13.如果集合 {x | x ? 2 x ? a ? 0} 是空集,则实数 a 的取值范围是_________ 14.已知 p ? R ,且集合 A ? {x | x ? px ?
2

5 9 ? 0} ,集合 B ? {x | x 2 ? x ? p ? 0} , 2 2



1 ? A ,求集合 B 中的所有元素。 2

15.集合 A 只含有元素 a,则下列各式正确的是( ) A.0∈A B.a?A C.a∈A D.a=A 16.已知 A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当 A={2}时,求集合 B. 17.集合 M={(x,y)|xy>0,x+y<0,x∈R,y∈R}是 ( ) A.第一象限的点集 B.第二象限的点集 C.第三象限的点集 D.第四象限的点集 18.直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合为 ( ) A.{0,1} B.{(0,1)} 1 1 C.{- ,0} D.{(- ,0)} 2 2 19.下列集合中的元素,也是集合{x|x2-2x-3=0}中的元素是 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.-2 3 20.由实数 x、-x、|x|、 x2及- x3所组成的集合,最多含有( A.2 个元素 B.3 个元素 C.4 个元素 D.5 个元素 )

集合的含义与表示
一、选择题: 1.下面四个命题: (1)集合 N 中的最小元素是 1: (2) 若 ?a ? N , 则 a ? N (3)x ? 4 ? 4 x
2

的解集为{2,2}; (4)0.7 ? Q ,其中不正确命题的个数为 (



A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中,表示同一集合的是 ( A. M ? C. M ?



??3, 2??, N ?? 2,3??

B. M ? ?3,2? , N ? ?2,3? D. M ? ?1,2? , N ? ?1.2? ( )

?? x, y ? x ? y ? 1? , N ? ? y x ? y ? 1?
?1 ?2 2? 3?

?

?

3.下列方程的实数解的集合为 ? , ? ? 的个数为
2

(1) 4 x2 ? 9 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 5 ? 0 ;(2) 6 x ? x ? 2 ? 0 ; (3) A.1

? 2 x ? 1? ? 3x ? 2 ? ? 0 ;(4)
2

6 x2 ? x ? 2 ? 0

B.2 C.3

D.4

2 2 4.集合 A ? x x ? x ? 1 ? 0 , B ? x ? N x x ? 6 x ? 10 ? 0 ,C ? x ? Q 4 x ? 5 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

D ? ? x x为小于2的质数? ,其中是空集的有 (
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 下列关系中表述正确的是 (
2 A. 0 ? x ? 0



) C. 0 ?? D. 0 ? N

?

?

B. 0 ? ? 0,0?

?

?

6. 下列表述正确的是(

) C. ??? ? ? D. 0 ? N
3

A. ?0? ? ? B. ?1, 2? ? ?2,1?

7. 下面四个命题:(1)集合 N 中的最小元素是 1: (2)方程 ? x ? 1?

? x ? 2 ?? x ? 5 ? ? 0 的解

集含有 3 个元素; (3) 0 ?? (4)满足 1 ? x ? x 的实数的全体形成的集合。其中正确命题 的个数是 ( ) A.0 B. 1 C. 2 D.3 二.填空题: 8.用列举法表示不等式组 ?

? 2x ? 4 ? 0 的整数解集合为 ?1 ? x ? 2 x ? 1 12 ? ? N ? 用列举法表示集合 A 为 6? x ?

9.已知集合 A ? ? x x ? N ,

? ?

10.已知集合 A ? ? a 三、解答题:

2 ? ? ? x ?4 ? ? 1有惟一解? ,又列举法表示集合 A 为 ? ? ? x?a ?

2 11.已知 A= ?1,a,b? , B ? a, a , ab ,且 A=B,求实数 a,b ;

?

?

参考答案:DBBBDBC 8. ??1,0,1, 2? 9 ?0, 2,3, 4,5? ; 10, ??

? 17 ? , ? 2, 2? ? 4 ?

11,a= -1,b=0;

集合的含义与表示
1.给出下列四个命题: (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{y|y=x -1}与集合{(x,y)|y=x -1}是同一个集合; (3)1,
2 2

3 6 1 , , ? ,0.5 这些数字组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y?R}是指第二象限或第四象限内的点的集合; (5)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示不同的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

2.已知集合 M={m?N|8-m?N},则集合 M 中元素个数是( A.6 B.7 C.8 D.9
2

3.已知集合 A 中的元素 y 满足 y ? N 且 y ? ? x ? 1 ,若 t ? A ,则 t 的值为________. 4.已知集合 P={x|2<x<a,x?N},已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a=_________. 5.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数 a、b 的值.

6.设 x ? R , 集合 A 中含有三个元素 3,x, x ? 2 x , (1) 求 x 应满足的条件; (2) 若-2 ? A ,
2

求实数 x 的值.


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